A estrutura de um edifício de um andar está sujeita a uma aceleração harmônica do solo, como mostra a Figura 3.50. Determine o movimento em regime permanente do piso (massa m).

Passo 1

Falaa pessoal, bora resolver mais um?

Só vemm?!

A representação da aceleração do solo é dada por x ¨ g t .

x ¨ g t = A cos ⁡ ω t

Integre ambos os lados da expressão acima em relação ao tempo para obter a seguinte expressão:

x ˙ g t = A ω sin ⁡ ω t + B                                   ( 1 )

Vamos integrar novamente ambos os lados da expressão (1), em relação ao tempo para obter a seguinte expressão

x g t = - A ω cos ⁡ ω t + B t + C                 ( 2 )

Passo 2

Vamos supor que em t = 0 , x ˙ g 0 = 0 , e x g 0 = 0 . Vamos aplicar as condições na expressão (1) e (2) para podermos obter a seguinte expressão

x ˙ g 0 = A ω sin ⁡ 0 + B

B = 0

x g 0 = - A ω 2 cos ⁡ 0 + B × 0 + C

C = A ω 2

x g t = A ω 2 1 - cos ⁡ ω t                           ( 3 )

Calculando a rigidez equivalente ( k e q ) para o sistema

k e q = k 2 + k 2

k e q = k

Passo 3

Vamos escrever a equação do movimento para massa m da seguinte maneira

m y ¨ + k e q y - x = 0

m y ¨ + k y - x = 0

Assumindo que z = y - x e modificando a equação acima para obter a seguinte expressão:

m z ¨ + x ¨ + k z = 0

m z ¨ + k z = - m x ¨

Substituindo A cos ⁡ ω t   p o r   x ¨

m z ¨ + k z = - m A cos ⁡ ω t

Com base na expressão acima, podemos escrever a expressão para a resposta do sistema em termos de z

z t = - m A cos ⁡ ω t k - m ω 2                 ( 4 )

Passo 4

Vamos reescrever a expressão de z

z t = y t - x t

Reorganizando a expressão acima, teremos

y t = z t + x ( t )

Vamos substituir os valores partindo da expressão (4) e (3)

y t = - m A cos ⁡ ω t k - m ω 2 + A ω 2 1 - cos ⁡ ω t  

y t = - m cos ⁡ ω t k - m ω 2 + 1 ω 2 1 - cos ⁡ ω t   A

Resposta

Portanto, a resposta estável do piso é y t = - m cos ⁡ ω t k - m ω 2 + 1 ω 2 1 - cos ⁡ ω t   A

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