A estrutura de um edifício de dois andares é modelada como mostra a Figura 5.24. Admitimos que as vigas sejam rígidas e que as colunas tenham resistência à flexão E I 1 e E I 2 com massas despreziveis. A rigidez de cada coluna pode ser calculada como

24 E I i h i 3 ,                         i = 1,2

Para m 1 = 2 m , m 2 = m , h 1 = h 2 = h e E I 1 = E l 2 = E l , determine as frequências naturais e formas modais da estrutura.

Passo 1

O enunciado galera, pede que a gente determine as frequências naturais e formas modais da estrutura.

Então temos que...

Sistema equivalente está abaixo na figura

k i = 2 24 E I i h i 3 ; i = 1,2

k 1 = k 2 = k = 48 E I h 3 ; m 1 = 2 m , m 2 = m

Equações do movimento

m 1 x ¨ 1 + k 1 + k 2 x 1 - k 2 x 2 = 0

m 2 x ¨ 2 - k 2 x 1 + k 2 x 2 = 0

Passo 2

Para movimento harmônico

x i ( t ) = x i c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) ; i = 1,2 , temos

- ω 2 m 1 + k 1 + k 2 - k 2 - k 2 - ω 2 m 2 + k 2 x 1 x 2 = 0 0 ⋯ ⋅ E 1

Equação da frequência

- ω 2 m 1 + k 1 + k 2 - k 2 - k 2 - ω 2 m 2 + k 2 = 0

Ou ω 4 m 1 m 2 - ω 2 m 2 k 1 + m 2 k 2 + m 1 k 2 + k 1 x 2 = 0

ω 2 = m 2 k 1 + m 2 k 2 + m 1 k 2 ± m 2 k 1 + m 2 k 2 + m 1 k 2 2 - 4 m 1 m 2 k 1 k 2 2 m 1 m 2 … E 2

Para dados fornecidos

ω 2 = ( m k + m k + 2 m k ) ± ( m x + m k + 2 m k ) 2 - 8 m 2 k 2 4 m 2 = k m 1 ± 1 2

ω 1 = 0.5412 k m = 3.7495 E I m h 3 ; ω 2 = 1.3066 k m = 9.0524 E I m h 3

Passo 3

Da Eq (E1), nós temos

r 1 = x 2 ( 1 ) x 1 ( 1 ) = - ω 1 2 m 1 + k 1 + k 2 k 2 = - 2 m ω 1 2 + 2 k k = - 2 ( 0.2429 k ) + 2 k k = 1.4142

r 2 = x 2 ( 2 ) x 1 ( 2 ) = - ω 2 2 m 1 + k 1 + k 2 k 2 = - 2 m ω 2 2 + 2 k k = - 2 ( 1.7071 * ) + 2 k k = - 1.4142

Formas de nó

x → ( 1 ) = 1.0 1.4142 x 1 ( 1 )

x → ( 1 ) = 1.0 - 1.4142 x 1 ( 2 )

Localização do nó

3 1 ⋅ 4142 = 1 - z 1 ; z = 0.5838

Resposta

z = 0.5838

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