A Figura 4.40 mostra um modelo com um grau de liberdade de um veículoautomotor que trafegano sentidohorizontal. Determine o deslocamento relativo do veículo quando ele passa por cima de uma saliência na estrada da forma y ( s ) = Y sen π s / δ .

Passo 1

Deslocamento da base = Y ( s ) = Y s i n ⁡ π s δ (E1)

i.e ,  y ( t ) = Y s i n ⁡ π t t 0 (E2)

deslocamento relativo em estado estacionário pode ser encontrado em Eq⋅ (4⋅36) como

z ( t ) = - 1 ω d ∫ 0 t   y ¨ ( τ ) e - ζ ω n ( t - τ ) s i n ⁡ ω 1 ( t - τ ) d τ     (E3)

Onde y ¨ ( τ ) = - Y π t 0 2 s i n ⁡ π τ t 0 (E4)

z ( t ) = Y ω d π t 0 2 ∫ 0 t   e - ζ ω n t e ζ ω n τ s i n ⁡ π τ t 0 s i n ⁡ ω d ( t - τ ) d τ (E5)

Porem s i n ⁡ π τ t 0 s i n ⁡ ω d ( t - τ ) = 1 2 c o s ⁡ π τ t 0 - ω d t + ω α τ - 1 2 c o s ⁡ π τ t 0 + ω 0 t - ω d τ

= 1 2 c o s ⁡ π t 0 + ω α τ ⋅ c o s ⁡ ω 2 t + s i n ⁡ π t 0 + ω d τ ⋅ s i n ⁡ ω d t

- 1 2 c o s ⁡ π t 0 - ω α τ ⋅ c o s ⁡ ω α t - s i n ⁡ π t 0 - ω d τ ⋅ s i n ⁡ ω d t (E6)

Passo 2

Eq (E5) e (E6)

z ( t ) = 1 2 Y ω d π t 0 2 e - τ ω n t c o s ⁡ ω α t ⋅ ∫ 0 t   e τ ω n τ c o s ⁡ π t 0 + ω d τ ⋅ d τ

+ s i n ⁡ ω d t ⋅ ∫ 0 2   τ γ ω n τ ⋅ s i n ⁡ π t 0 + ω d τ ⋅ d τ (E7)

Eq (E7) pode ser simplificada como

z ( t ) = Y 2 ω 2 π t 0 2 1 τ ω n 2 + π t 0 + ω d 2 τ ω n c o s ⁡ π t t 0

+ π t 0 + ω d s i n ⁡ π t t 0 - τ ω n e - τ ω n t c o s ⁡ ω α t

+ π t 0 + ω d e - τ ω n t s i n ⁡ ω d t

+ Y 2 ω d π t 0 2 5 ω n 2 + π t 0 - ω d 2 - ζ ω n c o s ⁡ π t t 0 - π t 0 - ω d s i n ⁡ π t t 0 + ζ ω n e - τ ω n t c o s ⁡ ω d t

+ π t 0 - ω d e - γ ω n t s i n ⁡ ω d t (E8)

Resposta

z ( t ) = Y 2 ω 2 π t 0 2 1 τ ω n 2 + π t 0 + ω d 2 τ ω n c o s ⁡ π t t 0

+ π t 0 + ω d s i n ⁡ π t t 0 - τ ω n e - τ ω n t c o s ⁡ ω α t

+ π t 0 + ω d e - τ ω n t s i n ⁡ ω d t

+ Y 2 ω d π t 0 2 5 ω n 2 + π t 0 - ω d 2 - ζ ω n c o s ⁡ π t t 0 - π t 0 - ω d s i n ⁡ π t t 0 + ζ ω n e - τ ω n t c o s ⁡ ω d t

+ π t 0 - ω d e - γ ω n t s i n ⁡ ω d t

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