A Figura 5.25 mostra um sistema de duas massas ligado a uma cordatito esticada, fixa em ambas as extremidades. Determine as frequências naturais e formas modais do sistema para m 1 = m 2 = m   e   l 1 = l 2 = l 3 = l

Passo 1

Seja P a tensão na corda. Os componentes horizontais de tensão (ao longo da direção x1) na corda acima e abaixo de m1 são - x 1 p l 1 e - x 1 - x 2 P l 2 , respectivamente.

Segunda lei de Newton

m 1 x ¨ 1 = - x 1 P l 1 - x 1 - x 2 P l 2 ou m 1 x ¨ 1 + x 1 l 1 P + x 1 - x 2 l 2 p = 0

Similarmente m 2 x ¨ 2 + x 2 l 3 p - x 1 - x 2 l 2 p = 0

Com x i ( t ) = x i c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) ; i = 1,2 ,  e  l 1 = l 2 = l 3 = l , m 1 = m 2 = m

- m ω 2 + 2 P l - p l - p l - m ω 2 + 2 p l x 1 x 2 = 0 0 … E 1

Isso dá a frequência da equação

- m ω 2 + 2 P l 2 - p l 2 = - m ω 2 + 3 P l - m ω 2 + p l = 0 ∴ ω 1 = p m l , ω 2 = 3 P m l

Passo 2

Da primeira eqs (E1)

r 1 = x 2 ( 1 ) x 1 ( 1 ) = - m ω 1 2 + 27 l p l = 1 ;         r 2 = x 2 ( 2 ) x 1 ( 1 ) = - m ω 2 2 + 2 p l p l = - 1

Formas de modo

x → ( 1 ) = 1 1 x 1 ( 1 )

Sem nó

x → ( 2 ) = 1 - 1 x 1 ( 2 )

um nó no meio das duas massas

Resposta

x → ( 1 ) = 1 1 x 1 ( 1 )

Sem nó

x → ( 2 ) = 1 - 1 x 1 ( 2 )

um nó no meio das duas massas

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