Uma máquina está sujeita ao movimento x t = A cos ⁡ 50 t + α   m m . As condições iniciais são dadas por x 0 = 3   m m e x ˙ 0 = 1,0 m s .

  1. Determine as constantes A e α .
  2. Expresse o movimento na forma x t = A 1 cos ⁡ ω t + A 2 sin ⁡ ω t e identifique as constantes A 1 e A 2 .

Passo 1

Faaala pessoal, tudo bem? Vamos lá pra mais uma questão que é curtinha e vocês vão tirar de letra!

Começando pelo começo, vamos desmembrar o ítem (a).

  1. Usaremos a equação dada para x t = A cos ⁡ 50 t + α   m m , mas dividiremos a constante A por 1000 a fim de obtermos um resultado em metros em vez de milímetros, assim temos que:
  2. x t = A 1000 cos ⁡ 50 t + α   m

    Para os valores dados no enunciado, considerando t = 0 , temos que:

    x 0 = A 1000 cos ⁡ α = 0,003

    Com isso, obtemos que A cos ( ⁡ α ) = 3 .

    Ainda usando a equação dada, sabendo que modificando a mesma afim de trabalhar agora com metros por segundo e considerando t = 0 , temos que:

    x ˙ 0 = - 50 A 1000 sin ⁡ α = 1,0

    Com isso, obtemos que:

    A sin ( ⁡ α ) = - 20

    Por definição, temos que:

    A = ( A cos 2 ⁡ α ) + ( A sin 2 ⁡ α ) 1 2 = 20,2237   m m

    α = tan - 1 ⁡ A sin ⁡ α A cos ⁡ α = tan - 1 ⁡ ( - 6,6667 ) = - 81,4692 °   o u - 1 ,   4219   r a d    

    Passo 2

  3. Reescrevendo a equação dada x t = A cos ⁡ 50 t + α   m m agora substituindo os valores encontrados, temos que:

x t = 20,2237 cos ⁡ 50 t - 1,4219   m m

Por definição, temos que:

cos ⁡ A + B = cos ⁡ A cos ⁡ B - sin ⁡ A sin ⁡ B

Sabendo disso, resolveremos o ítem de fato. Da equação dada, podemos escrever:

x t = A cos ⁡ 50 t + α = A cos ⁡ 50 t ∙ cos ⁡ α - A sin ⁡ 50 t ∙ sin ⁡ α

x t = A cos ⁡ 50 t + α = A 1 cos ⁡ ω t + A 2 sin ⁡ ω t  

Assim, obtemos: ω = 50 , A 1 = A cos ⁡ α ,   A 2 = - A sin ⁡ α .

Logo:

x t = A cos ⁡ 50 t + α = 3 cos ⁡ 50 t + 20 sin ⁡ 50 t     m m

Resposta

  1. A = 20,2237   m m   e   α = - 81,4692 °   o u - 1 ,   4219   r a d
  2. x t = A cos ⁡ 50 t + α = 3 cos ⁡ 50 t + 20 sin ⁡ 50 t     m m

A 1 = A cos ⁡ α ,   A 2 = - A sin ⁡ α .

Ver Outros Exercícios desse livro