Enunciado

A massa m 1 do sistema com dois graus de liberdade mostrado na Figura 5.16 esta sujeita a uma força F 0 c o s ⁡ ω t . Considerando que o amortecimento do ar circundante é equivalente a c = 200   N . J / m , determine a resposta em regime permanente das duas massas. Suponha que m 1 = m 2 = 1 k g , k 1 = k 2 = 500   N / m e ω = 1 r a d / s

Passo 1

Equação do movimento

k 1 = k 2 = 500 N / m

m 1 = m 2 = 1 k g

c 1 = c 2 = c = 200   N .   S / m

ω = 1 r a d / s

m 1 x ¨ 1 + c 1 + c 2 x ˙ 1 + k 1 + k 2 x 1   - c 2 x ˙ 2 - k 2 x 2 = F 1 ( t ) = F 0 e i ω t

m 2 x ¨ 2 + c 2 x ˙ 2 + k 2 x 2 - c 2 x ˙ 1   - k 2 x 1 = 0

Deixe x j ( t ) = x j e i ω t ; j = 1,2

Equações do movimento se tornam

- ω 2 m 1 + i ω c 1 + c 2 + k 1 + k 2 x 1 - i ω c 2 + k 2 x 2 = F 0 (E1)

- i ω c 2 + k 2 x 1 + - ω 2 m 2 + i ω c 2 + k 2 x 2 = 0 (E2)

Para dados fornecidos, (E1) e (E2) se tornam

[ z ( i ω ) ] x → = F → 0 (E3)

Em que

Z 11 ( i ω ) = 400 i + 999

z 12 ( i ω ) = z 21 ( i ω ) = - 200 i - 500

Z 22 ( i ω ) = 200 i + 499

x → = x 1   x 2   , F 0 → = F 10   F 20   = F 0   0  

Passo 2

Solução de (E3) é, usando eq(5.35)

x 1 = ( 200 i + 499 ) F 0 ( 400 i + 999 ) ( 200 i + 499 ) - ( - 200 i - 500 ) 2 = ( 200 i + 499 ) F 0 ( 199400 i + 208501 )

= ( 200 i + 499 ) ( - 199400 i + 208501 ) F 0 ( 199400 i + 208501 ) ( - 199400 i + 208501 )

= 17.2915 × 10 - 4 - 6.9444 × 10 - 4 i F 0 (E4)

x 2 = ( 200 i + 500 ) F 0 ( 400 i + 999 ) ( 200 i + 499 ) - ( - 200 i - 500 ) 2 = ( 200 i + 500 ) F 0 ( 199400 i + 208501 )

= ( 200 i + 500 ) ( - 199400 i + 208501 ) F 0 ( 199400 i + 208501 ) ( - 199400 i + 208501 )

= 17.3165 × 10 - 4 - 6.9684 × 10 - 4 i F 0 (E5)

Passo 3

Solução final é dada pelas partes reais

x 1 ( t ) = R e ⁡ x 1 e i ω t = R e ⁡ x 1 c o s ⁡ ω t + i x 1 s i n ⁡ ω t

= R e ⁡ [ 17.2915 × 10 - 4 - 6.9444 × 10 - 4 i F 0 c o s ⁡ θ t

+ 17.2915 × 10 - 4 : 6 + 6.9444 × 10 - 4 F 0 s i n ⁡ ω t ] (E6)

x 2 ( t ) = R e ⁡ x 2 e i ω t = R e ⁡ x 2 c o s ⁡ ω t + i x 2 s i n ⁡ ω t

= R e ⁡ [ 17.3165 × 10 - 4 - 6.9684 × 10 - 4 i F o c o s ⁡ ω t

+ 17.3165 × 10 - 4 i + 6.9684 × 10 - 4 F 0 s i n ⁡ c o t ]

= 17.3165 × 10 - 4 F 0 c o s ⁡ ω t + 6.9684 × 10 - 4 F 0 s i n ⁡ ω t (E7)

Resposta

= 17.3165 × 10 - 4 F 0 c o s ⁡ ω t + 6.9684 × 10 - 4 F 0 s i n ⁡ ω t

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