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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 7

Um mecanismo de manivela corrediça é usado para imprimir movimento à base de um sistema massa-mola-amortecedor, como mostra a Figura 4.31. Aproximando o movimento da base y ( t ) como uma série de funções harmônicas, determine a resposta da massa para m = 1   k g , c = 10   N ⋅ s / m , k = 100   N / m , r = 10   c m , l = 1   m e ω = 100 r a d / s

Passo 1

Movimento da base é dado por:

y ( t ) = r + l - r c o s ⁡ ω t - l c o s ⁡ ϕ = r + l - r c o s ⁡ ω t - l 1 - s i n 2 ⁡ ϕ (1)

Usando  l s i n ⁡ ϕ = r s i n ⁡ ω t , Eq. (1) será

y ( t ) = r + l - r c o s ⁡ ω t - l 1 - r 2 l 2 s i n 2 ⁡ ω t (2)

Usando a aproximação

1 - r 2 l 2 s i n 2 ⁡ ω t ≈ 1 - r 2 2 l 2 s i n 2 ⁡ ω t (3)

Passo 2

Equação 2 pode ser expressa como

y ( t ) = r + l - r c o s ⁡ ω t - l 1 - 1 2 r 2 l 2 s i n 2 ⁡ ω t

= r - r c o s ⁡ ω t + l 4 r l 2 - l 4 r l 2 c o s ⁡ 2 ω t (4)

Equação do movimento

m x ¨ + c x ˙ + k x = k y + c y ˙

= k r - k r c o s ⁡ ω t + k l 4 r l 2 - k l 4 r l 2 c o s ⁡ 2 ω t + ⋯

+ c r ⁡ ω s i n ⁡ ω t + c l 4 r l 2 ( 2 ω ) s i n ⁡ 2 ω t + ⋯ (5)

Passo 3

Solução da Eq. (5) pode ser encontrada adicionando as soluções devidas a cada termo no lado direito da Eq. (5).

Solução devido ao termo constante, F0 (termos 1 e 3 na r.h.s. da Eq. (5)):

x ( t ) = F 0 k 1 - 1 1 - ζ 2 e - s ω n t c o s ⁡ ω d t - ϕ (6)

ϕ = t a n - 1 ⁡ ζ 1 - ζ 2

Solução devido ao termo sinusoidal F 0 s i n ⁡ Ω t (termos 5 e 6 no r.h.s. da Eq. ( 5 ) ) :

x ( t ) = X s i n ⁡ Ω t - ϕ 0 (7)

Em que X = F 0 k - m Ω 2 2 + c 2 Ω 2 1 2  and  ϕ 0 = t a n - 1 ⁡ c Ω k - m Ω 2 (8)

Solução devido ao termo cosseno F 0 c o s ⁡ Ω t  (term o s  2  e  4  na Eq. (5)):

x ( t ) = X c o s ⁡ Ω t - ϕ 0

Onde X = F 0 k - m Ω 2 2 + c 2 Ω 2 1 2  e  ϕ 0 = t a n - 1 ⁡ c Ω k - m Ω 2

Para dados fornecidos ζ = c 2 m k = 10 2 1 ( 100 ) = 0.5 , r l = 0.1 , ω = 100,2   ω = 200 ,

etc. e a solução da Eq. (5) pode ser obtido usando as Eqs. (6) a (8) adequadamente.

Resposta

ϕ 0 = t a n - 1 ⁡ c Ω k - m Ω 2

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