As vibrações por torção de uma engrenagem acionada montada sobre um eixo (Figura 4.30) sob condições estáveis são governadas pela equação

J 0 θ ¨ + k t θ = M t

onde k , é a rigidez de torção do eixo acionado, M i é o torque transmitido, J 0 e o momento de inércia de massa, e θ é a deflexão angular da engrenagern acionada. Se um dos 16 dentes da engrenagem motriz quebrar, determine a vibração por torção resultante na engrenagem acionada para os seguintes dados. Engrenagem acionada: J 0 = 0,1   N - m / s 2 , velocidade = 1.000 rpm, eixo acionado: material - aço, seção circular sólida com 5   c m de diâmetro e 1   m de comprimento, M t 0 = 1.000   N / m .

Passo 1

O torque transmitido para a engrenagem acionada é mostrado na figura. Pode ser expresso como:

M t ( t ) = 2 0 2 + ∑ n = 1 ∞   a n c o s ⁡ n ω t + b n s i n ⁡ n ω t

Em que ω = 2 π 1000 60 = 104.72 r a d / s e c

τ = 2 π ω = 0.06 s e c ; 15 16 τ = 0.05625 s e c

M t t =     M t 0 = 1000 N - m ; 0 ≤ t ≤ 15 16 τ

0 ; 15 16 τ ≤ t ≤ τ

a 0 = 2 τ ∫ 0 r   M t ( t ) d t = 2 0.06 ∫ 0 0.05625   ( 1000 ) d t = 2000 0.06 ( 0.05625 ) = 1875.0 N - m

a n = 2 τ ∫ 0 r   M t ( t ) c o s ⁡ n ω t d t = 2 τ M t 0 ∫ 0 0.05625   c o s ⁡ n ω t d t

= 2 M t 0 τ s i n ⁡ n ω t n ω 0 0.05625 = 318.3091 n s i n ⁡ 5.8905 n N - m

b n = 2 τ ∫ 0 r   M t ( t ) s i n ⁡ n ω t d t = 2 M t 0 τ ∫ 0 0.05 θ 25   s i n ⁡ n ω t d t = 2 M t 0 τ - c o s ⁡ n ω t n ω 0 0.05625 = 318.3091 n ( 1 - c o s ⁡ 5.8905 n ) N - m

k t = G J l = G π d 4 4 1 l = 80 10 9 π ( 0.05 ) 4 4 1 1 = 392,700 N - m / r a d

ω n = 4 / k t J 0 = 392700 0.1 = 1981.6660 r a d / s e c

Passo 2

Equação do movimento

J 0 θ ¨ + k t θ = M t ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞   a n c o s ⁡ n ω t + b n s i n ⁡ n ω t

Resposta

θ ( t ) = a 0 2 k t + ∑ n = 1 ∞   a n c o s ⁡ n ω t + b n s i n ⁡ n ω t k t - J 0 ( n ω ) 2

= 0.0023873

+ ∑ n = 1 ∞   318.3091 s i n ⁡ 5.8905 n c o s ⁡ ω t + 318.3091 ( 1 - c o s ⁡ 5.8905 n ) s i n ⁡ n ω t n 392700.0 - 1096.6278 n 2 r a d

Resposta

+ ∑ n = 1 ∞   318.3091 s i n ⁡ 5.8905 n c o s ⁡ ω t + 318.3091 ( 1 - c o s ⁡ 5.8905 n ) s i n ⁡ n ω t n 392700.0 - 1096.6278 n 2 r a d

Ver Outros Exercícios desse livro