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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 31

Mostre que, para pequenos valores de amortecimento, o fator de amortecimento ζ pode ser expresso como

ζ = ω 2 - ω 1 ω 2 + ω 1

onde ω 1 e   ω 2 são as frequências correspondentes aos pontos de meia-potência.

Passo 1

Eq (3.34) X δ s t ω = ω n = 1 2 J

Se x = 1 2 X m a x = 1 2 x ω = ω n , Eq (3.30) 1 2 ⋅ 1 25 = 1 1 - r 2 2 + ( 2 T r ) 2

Quadratura e organização:

8 J 2 = 1 - r 2 2 + 4 r 2 r 2 = 1 - 2 r 2 + r 4 + 4 r 2 J 2

r 4 + r 2 4 y 2 - 2 + 1 - 8 t 2 = 0

r 2 = 1 - 2 J 2 ± 2 J 1 + J 2

Passo 2

Termos negligenciados envolvendo J 2

r 2 = ω 2 ω n 2 = 1 ± 25

Deixe  ω = ω 1  quando  r 2 = 1 - 2 J  e  ω = ω 2  quando  r 2 = 1 + 25

ω 2 2 - ω 1 2 ω n 2 = ω 2 + ω 1 ω 2 - ω 1 ω 2 + ω 1 2 2 = 4 J ∴ ω 2 - ω 1 ω 2 + ω 1 = J

Resposta

ω 2 - ω 1 ω 2 + ω 1 = J

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