Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 10ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 10º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 68
68. Quando é nulo, as molas estão esticadas . Determine a distância se uma força for aplicada nos pontos e , como mostrado na figura. As extremidades das cordas e estão presas aos anéis em e .
Passo 1
Para achar essa força que o enunciado pede, vamos usar o fato do sistema está em equilíbrio, ao nosso favor, logo:
Mas para usarmos isso temos que decompor as forças exercidas pelas cornas em sus componentes e .
Uma coisa a se notar antes de continuarmos, é que o nosso sistema é simétrico tanto em , quanto em , quer dizer que tudo que acontece de um lado, acontece do outro, então podemos escolher os pontos e para analisar as condições de equilíbrio e podemos analisar a condição da direção em e a condição da direção em .
Temos que decompor a forças realizada pelas cordas em suas componentes e para podermos usar as equações acima.
Faremos isso utilizando o ângulo que a força faz com a horizontal, que chamaremos de .
Das equações de equilíbrio iremos encontrar um valor para , com esse valor, vamos usar trigonometria para encontrar .
Como é o ângulo que a força de tração de cada corda faz com a horizontal, então olhando a figura, temos que:
Vamos analisar essas equações então.
Passo 2
Primeiro vamos analisar o ponto , então temos que:
Encontramos um resultado bem útil, que pode nos ajudar na próxima análise.
Passo 3
Vamos analisar o ponto , então temos que:
Onde é a força elástica, substituindo o resultado do passo nessa equação, temos:
Mas e agora, quem é ? Bem, ela é a força elástica, como já foi dito, e a força elástica é dada por:
Onde é o deslocamento da mola da posição inicial para posição final e é a constante de rigidez da mola que no caso vale . Então precisamos achar o valor de .
Passo 4
Como foi dito no passo anterior, é o deslocamento da posição inicial até a posição final.
Segundo o enunciado, a mola está relaxada quando as molas estão esticadas , então essa é a posição inicial da mola, falta a final agora.
Quando a distância entre e é igual a (só olhar a figura), mas quando é um certo valor a distância entre esses dois pontos vale , então a distância de até o ponto médio de é essa diferença divido por . Esse resultado é igual ao quanto foi adicionado no comprimento da mola. Então:
Então temos que:
Tendo podemos dizer vale:
Passo 5
Então usando a seguinte equação do passo :
Com o resultado obtido no passo , temos:
Infelizmente caímos em uma equação que não tem solução analítica, ela só é resolvida através de tentativa e erro ou numericamente com o uso de programas matemáticos. Utilizando um desses dois métodos é possível encontrar que:
Passo 6
Agora que temos o ângulo vamos usar a fórmula mencionada no passo para acharmos .