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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 64

Prove que os componentes de uma série de Fourier de senos ( b n ) são zero para funções pares, isto é, quando x - t = x ( t ) . Prove também que os componentes de uma série de Fourier de cossenos ( a 0 e   a n ) são zero para funções ímpares, isto é, quando x - t = - x ( t ) .

Passo 1

Iaii pessoal, ces tão prontos pra mais uma questão? Vai dar certo!

No livro de vocês, da Eq. (1.73), nós temos a seguinte dedução que chamaremos de (E.1):

b n = 2 τ ∫ 0 τ x t sin ⁡ n ω t   d t =   2 τ ∫ - τ 2 τ 2 x t sin ⁡ n ω t   d t =   2 τ ∫ - τ 2 0 x t sin ⁡ n ω t   d t + ∫ 0 τ 2 x t sin ⁡ n ω t   d t    

Sabendo que sin ⁡ - n ω t = - sin ⁡ n ω t = f u n ç ã o   í m p a r   d e   x ( t ) , o produto de x ( t ) e sin ⁡ n ω t também se caracteriza como função ímpar.

Passo 2

Além disso, pessoal, para uma função ímpar de f ( t ) , f - t = - f ( t ) . Dessa maneira, temos o seguinte:

∫ - a a f t   d t =   ∫ - a 0 f t   d t + ∫ 0 a f t   d t = ∫ 0 0 f - t   d t +   ∫ 0 a f t   d t =      

= - ∫ 0 a f t   d t +   ∫ 0 a f t   d t = 0  

E essa última equação, chamaremos de (E.2).

Ambas as equações (E.1) e (E.2) nos levam à relação b n = 0 . Além disso, desde que cos ⁡ n ω t é uma função par, nós temos o seguinte:

α n = 2 τ ∫ - τ 2 τ 2 x t cos ⁡ n ω t d t =   4 τ ∫ 0 τ 2 x t cos ⁡ n ω t d t  

Passo 3

Para funções ímpar, x - t = - x ( t ) . Dito isso, agora da equação Eq. (1.72), nós temos que:

α n = 2 τ ∫ 0 τ 2 x t cos ⁡ n ω t d t =   2 τ ∫ - τ 2 τ 2 x t cos ⁡ n ω t d t  

Como já falamos, pelo fato de cos ⁡ n ω t ser uma função par, logo cos ⁡ ( - n ω t ) = cos ⁡ n ω t , e o produto de x t   e cos ⁡ n ω t é uma função ímpar. Portanto, α n = 0 .

Além disso, desde que sin ⁡ n ω t é uma função ímpar, então x t sin ⁡ n ω t é uma função par, e, portanto:

b n = 4 τ ∫ 0 τ 2 x t sin ⁡ n ω t d t  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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