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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 85

Resolva o Problema 10.79 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

O problema pede que encontremos o centroide y - e os momentos e produtos de inércia em relação aos eixos u e v , usando para isso o círculo de Mohr, que você pode encontrar uma explicação aqui mesmo no responde aí, dá uma olhadinha lá!

Então, vamos começar calculando o centroide:

y - = ∑ y - ⋅ A ∑ A = 1225 1000 50 + 2 1000 400 50 + 6 ( 1200 ) ( 100 ) 1000 50 + 2 ( 400 ) ( 50 ) + 1200 ( 100 )

y - = 825   m m

Passo 2

Agora, vamos calcular o momento e o produto de inércia com relação aos eixos x e y :

I x = 1 12 1000 5 0 3 + 1 000 5 0 400 2 + 2 1 12 50 400 3 + 5 0 400 175 2 + 1 12 100 1200 3 + 100 200 225 2

I x = 3 0244 ⋅ 10 6   m m 4

Vamos para o eixo y agora:

I y = 1 12 50 1 000 3 + 2 1 12 400 5 0 3 + 40 0 ( 5 0 ) ( 75 2 ) + [ 1 12 1200 100 3 ]

I y = 4500 ⋅ 10 6   m m 4

E usando a simetria no dividindo a figura no eixo x , temos que:

I x y = 0

Passo 3

Agora, finalmente iremos usar o círculo de Mohr, onde o centro C do círculo encontra o eixo u , então, vamos lá:

I A V G = I x + I y 2 = 30244 + 4500 2 ⋅ 10 6

I A V G = 17372 ⋅ 10 6   m m 4

As cordenadas de referência do ponto A são: 30244 ; 0 ⋅ 10 6   m m 4

Logo, o circulo pode ser construído assim:

R = C A = 30244 - 17372 ⋅ 10 6

R = 12872 ⋅ 10 6   m m 4

Passo 4

Com todas essas informações que obtemos, podemos calcular os momentos de inércia que são:

I u = 17372 - 12872 ⋅ cos ⁡ 60 ° ⋅ 10 6 = 10900 ⋅ 10 6   m m 4

I v = 1 7372 + 12872 ⋅ cos ⁡ 60 ° ⋅ 10 6 = 2 3800 ⋅ 10 6   m m 4

I u v = 12872 ⋅ sen ⁡ 60 ° ⋅ 10 6 = 11100 ⋅ 10 6   m m 4

Resposta

y - = 825   m m

I A V G = 17372 ⋅ 10 6   m m 4

R = 12872 ⋅ 10 6   m m 4

I u = 10900 ⋅ 10 6   m m 4

I v = 23800 ⋅ 10 6   m m 4

I u v = 11100 ⋅ 10 6   m m 4

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