Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 46
Resolva o Problema 7.24 usando o círculo de Mohr.
Passo 1
Tá legal! Para encontrar os planos e tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto H, precisamos ter o círculo de Mohr desenhado para esse ponto. Só que para desenhar o círculo, precisamos das tensões aplicadas nesse ponto, que serão geradas pela torção e pelo momento aplicadas na barra. Então vamos precisar encontrar esses valores antes. Observe que a torção será gerada pela força de 400lb que está deslocada com relação ao centro do eixo.
Com o círculo desenhado e os valores encontrados, vem a parte fácil, vamos aplicar as fórmulas para encontrar a tensão média e o raio do círculo, e aí conseguimos encontrar as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima para o ponto H.
Passo 2
Beleza! Como a força de 400lb está deslocada com relação ao centro do eixo, ela irá gerar torção na barra. A torção será dada pela força multiplicada pelo raio da engrenagem, ou seja:
Agora vamos relembrar a equação para a tensão de cisalhamento gerada por torção, que é dada por:
Em que T é o torque aplicado, c é a distância do centro até o ponto de interesse e J é o momento polar de inércia, lembrando que o momento polar de inércia é dado por:
Substituindo essa expressão na equação para a tensão de cisalhamento e sabendo que nosso ponto H está na superfície, ou seja, em , a equação se torna:
Então, substituindo os valores conhecidos nessa equação, sendo o T que encontramos e o raio fornecido no enunciado, teremos:
Passo 3
Agora nós vamos encontrar a tensão normal causado pelo momento fletor que existe na barra. Lembrando que essa tensão pode ser escrita como:
Em que M é o momento no ponto de interesse, y é a distância do centro até o ponto de estudo e I é o momento de inércia da barra. Beleza, sabemos que no nosso caso, a distância y vai ser o próprio raio da seção, ou seja:
Beleza, agora vamos calcular o momento no ponto H. Sabendo que o momento é a força vezes o braço de alavanca, para o nosso caso teremos:
Beleza! Agora falta o momento de inércia, que para uma seção circular é dado por:
Substituindo o valor do raio fornecido no enunciado, teremos:
Agora sim podemos encontrar o valor da tensão no ponto H, então teremos:
Passo 4
Beleza! Agora que encontramos as tensões, podemos desenhar o elemento diferencial de tensões para o ponto H, onde teremos:
Então, as tensões para esse elemento diferencial serão:
Com isso, podemos calcular o valor da tensão média, que será dada por:
Então, teremos os seguintes pontos para o círculo de Mohr:
E, agora então podemos encontrar o raio para círculo de Mohr, que é dado pela fórmula:
Substituindo os valores conhecidos, teremos:
Passo 5
Com as informações que encontramos no passo 4, temos tudo o que precisamos para esboçar o círculo de Mohr, que então será:
Então, através do círculo de Mohr, podemos ver que as tensões principais, que são as tensões nos pontos A e B, podem ser encontradas através:
Shoow! Agora, a tensão de cisalhamento máxima nesse ponto será o próprio raio do círculo de Mohr, já que o círculo é simétrico com relação ao eixo da tensão normal. Dessa forma, teremos:
Prooonto! Eram essas 3 informações que o enunciado havia pedido, terminamos por aqui!