Enunciado

Um rotor com um memento de inércia de massa J 1 = 15   k g . m 2 está montado na extremidade de um eixo de aço com rigidez à torção de 0,6 MN.m/rad. Constatou-se que o rotor vibra violentamente quando sujeito a um torque harmônico de 300   c o s   200 t   N . m . Um absorvedor sintonizado, que consiste em uma mola torcional e um momenta de inercia de massa ( k t 2   e   J 2   ) deve ser acrescentado ao primeiro rotor para absorver as vibrações. Determine os valores de k t 2   e   J 2 tais que as frequências naturais do sistema fiquem afastadas de uma frequência forçante por no mínimo 20%.

Passo 1

Alô Alô tranquilooo??

Só vamooo!!!

O torque harmônico é expresso como:

T = 300 cos ⁡ 200 t N ⋅ m                                     ( 1 )

Inicialmente a frequência de excitação, ω é determinada a partir da equação (1) e comparada com a frequência natural do absorvedor ω 2 .

ω = 200   r a d / s e c

ω 2 = ω

ω 2 = k t 2   J 2

ω 2 = 200   r a d / s e c

Onde, a rigidez do absorvedor é k t 2 , e o momento de inércia de massa do absorvedor é   J 2 .

Passo 2

Então, neste caso, as expressões de frequência natural do nosso sistema assumem a forma abaixo, onde μ é a razão da massa do absorvedor para a massa inicial do sistema e Ω 1   e   Ω 2 é a frequência natural do sistema combinado.

Ω 1 2 ω 2 2 = 1 + μ 2 - 1 + μ 2 2 - 1

Ω 1 2 = ω 2 2 1 + μ 2 - 1 + μ 2 2 - 1           ( 1 )

A segunda frequência natural pode ser calculada usando a equação abaixo, onde μ é a razão da massa do absorvedor para a massa inicial do sistema e Ω 1   e   Ω 2 é a frequência natural do sistema combinado.

Ω 2 2 ω 2 2 = 1 + μ 2 + 1 + μ 2 2 - 1

Ω 2 2 = ω 2 2 1 + μ 2 + 1 + μ 2 2 - 1                   ( 2 )

Passo 3

Precisamos que as frequências naturais tenham uma distância da frequência de excitação. Existem 3 maneiras possíveis de atingir o requisito. Podemos ter ambas as frequências naturais localizadas abaixo da frequência de excitação, podemos ter ambas as frequências naturais localizadas acima da frequência de excitação ou, finalmente , ter a frequência de excitação localizada entre as frequências Ω 1   e   Ω 2 . No nosso caso, como a faixa pe muito pequena, conseguiremos cumprir o requisito localizando a faixa de frequência de excitação entre as frequências naturais. Como resultado:

A seguinte condição é aplicada para a primeira frequência natural:

Ω 1 2 < 0.8 × 200 2

ω 2 2 1 + μ 2 - 1 + μ 2 2 - 1 < 160 2               ( 2 )

A seguinte condição é aplicada para a segunda frequência natural:

Ω 2 2 < 1.2 × 200 2

ω 2 2 1 + μ 2 - 1 + μ 2 2 - 1 < 240 2               ( 3 )

Passo 4

Como não há apenas uma solução para o problema, um valor lógico de k 2   e   m 2 pode ser selecionado e o outro pode ser calculado por meio das equações. No nosso caso, vamos supor isso μ = 0.6

Aplicando o valor de μ na equação (2).

ω 2 2 1 + 0.6 2 - 1 + 0.6 2 2 - 1 < 160 2

ω 2 2 ⋅ 0.469 < 160 2

ω 2 < 233.549

Aplicando o valor de μ na equação (3).

ω 2 2 1 + μ 2 - 1 + μ 2 2 - 1 < 240 2  

ω 2 2 1 + 0.6 2 - 1 + 0.6 2 2 - 1 < 240 2  

ω 2 2 ⋅ 2.13 > 240 2

ω 2 > 164.42

Passo 5

Uma vez que a faixa aceitável da frequência do absorvedor é determinada como 164.2 < ω 2 < 233.549 , escolheremos um valor entre esta faixa de ω 2 = 190   r a d / s e c .

Para o cálculo do momento polar de inércia do absorvedor.

J 2 = J 1 × μ

Substituindo

J 2 = 15 × 0.6

J 2 = 9   k g ⋅ m 2

Para o cálculo da rigidez torcional do absorvedor

k t 2 = J 2 × ω 2 2

Substitua

k t 2 = 9 190 2

k t 2 = 324,900   N ⋅ m / r a d

Resposta

Portanto, as propriedades do absorvedor são 9   k g ⋅ m 2   e     324,900   N ⋅ m / r a d   respectivamente.

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