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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 90

Para a seção transversal de cantoneira indicada, determine a orientação dos eixos principais na origem os valores correspondentes dos momentos de inércia.

A seção transversal de cantoneira de L 127 × 76 × 12,7   m m do Problema 9.7 8 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Analisando a tabela da F i g . 9.13 B , conforme o posicionamento da cantoneira, temos que:

I - x y = 1,165061 × 10 6   m m 4

Passo 2

Podemos analisar o problema 9.84 para encontrar:

I - x = 3,93 × 10 6   m m 4

I - y = 1,06 × 10 6   m m 4

Passo 3

Agora podemos encontrar θ m a partir de:

tan ⁡ 2 θ m = - 2 I - x y I - x - I - y

tan ⁡ 2 θ m = - 2 1,165061 × 10 6 3,93 × 10 6 - 1,06 × 10 6

tan ⁡ 2 θ m = - 0,81189

2 θ m = - 39,073 °

E:

2 θ m = 140,927 °

Logo:

θ m = - 19,54 °

E:

θ m = 70,5 °

Passo 4

Portanto, os momentos principais de inércia serão:

I - m á x , m í n = I - x + I - y 2 ± I - x - I - y 2 2 + I - x y 2

I - m á x , m í n = 3,93 × 10 6 + 1,06 × 10 6 2 ± 3,93 × 10 6 - 1,06 × 10 6 2 2 + 1,165061 × 10 6 2

Resolvendo, temos que:

I - m á x = 4,34 × 10 6   m m 4

I - m í n = 0,647 × 10 6   m m 4

Por inspeção, o eixo a corresponde ao momento de inércia mínimo e o eixo b corresponde ao momento de inércia máximo.

Resposta

I - m á x = 4,34 × 10 6   m m 4

θ m = 70,5 °

I - m í n = 0,647 × 10 6   m m 4

θ m = - 19,54 °

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