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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 97

Para um quarto de elipse do Problema 9.67 , use o círculo de Mohr para determinar a orientação dos eixos principais na origem e os valores correspondentes dos momentos de inércia..

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Do Problema 9 . 85 temos os seguintes momentos de inércia e produto de inércia:

I x = π 8 a 4  

I y = π 2 a 4

I x y = 1 2 a 4

Analisando o círculo de Mohr, que é definido pelo diâmetro X Y , temos que:

X π 8 a 4 , 1 2 a 4

E:

Y π 2 a 4 , - 1 2 a 4

A partir disso, podemos achar o momento de inércia do ponto médio do círculo de Mohr. Temos que:

I m é d = 1 2 I x + I y

I m é d = 1 2 π 8 a 4 + π 2 a 4

I m é d = 5 16 π a 2

I m é d = 0,98175 a 4

Passo 2

O raio R do círculo de Mohr será:

R = I x - I y 2 2 + I x y 2

R = 1 2 π 8 a 4 - π 2 a 4 2 + 1 2 a 4 2

R = 0,77264 a 4

Passo 3

Podemos encontrar θ m a partir de:

tan ⁡ 2 θ m = - 2 I x y I x - I y

tan ⁡ 2 θ m = - 2 1 2 a 4 π 8 a 4 - π 2 a 4

tan ⁡ 2 θ m = 0,84883

2 θ m = 40,326 °

E:

θ m = 20,2 °

Passo 4

Vamos usar o círculo de Mohr para determinar a orientação dos eixos principais na origem e os valores correspondentes dos momentos de inércia em relação a novos eixos obtidos por rotação dos eixos x e y em torno de O de 20,2 ° no sentido anti-horário:

I m á x , m í n = I m é d ± R

I m á x , m í n = 0,98175 a 4 ± 0,77264 a 4

Logo:

I m á x = 1,754 a 4

E:

I m í n = 0,209 a 4

Portanto, podemos concluir que no círculo de Mohr é visto que a é oo eixo que corresponde a I m í n e o eixo b corresponde a I m á x .

Resposta

I m á x = 1,754 a 4

E:

I m í n = 0,209 a 4

Portanto, podemos concluir que no círculo de Mohr é visto que a é oo eixo que corresponde a I m í n e o eixo b corresponde a I m á x .

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