Ao taxiar pela pista, um aeroplano encontra uma saliência. Como resultado, a junção da asa é sujeita a um deslocamento que pode ser expresso como

y ( t ) = Y t 2 / t 0 2 , 0 ≤ t ≤ t 0 0 , t > t 0

Determine a resposta da massa localizada na ponta da asa se a rigidez da asa for k (Figura 4.44).

Passo 1

O sistema pode ser modelado como um sistema de massa de mola

submetido ao movimento da base:

y ( t ) = Y t 2 / t 0 2 ; 0 ≤ t ⩽ t 0 0 ; t > t 0 … E 1 (E1)

Deslocamento relativo da massa   z = x - y , é dado pela eq 4.36

z ( t ) = - 1 ω d ∫ 0 t   y ¨ ( τ ) e - ζ ω n ( t - τ ) s i n ⁡ ω d ( t - τ ) d τ (E2)

Onde       y ( r ) = Y τ 2 / t 0 2 y ¨ ( τ ) = 2 Y / t 0 2 0 ⩽ τ ⩽ t 0 (E3)

E         y ( τ ) = 0 ; τ > t 0

Passo 2

Para   0 ≤ t ≤ t 0 :

Uma vez que o sistema está sem amortecimento   ω d = ω n  e  ζ = 0 , e (E2) reduz para

z ( t ) = - 2 y ω n t 0 2 ∫ 0 t   s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ (E4)

∫ 0 t   s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ = ∫ 0 t   s i n ⁡ ω n t c o s ⁡ ω n τ - c o s ⁡ ω n t s i n ⁡ ω n τ d τ

= s i n ⁡ ω n t ∫ 0 t   c o s ⁡ ω n τ d τ - c o s ⁡ ω n t ∫ 0 t   s i n ⁡ ω n τ d τ

= s i n ⁡ ω n t 1 ω n s i n ⁡ ω n τ 0 t - c o s ⁡ ω n t - 1 ω n c o s ⁡ ω n τ 0 t

= 1 - c o s ⁡ ω n t ω n (E5)

Eq (E4) será

x ( t ) = Y t 2 t 0 2 - 2 Y t 0 2 ω n 2 1 - c o s ⁡ ω n t ; 0 ⩽ t ≤ t 0 (E6)

Para   t > t 0 :

Eq (E2) será

z ( t ) = - 1 ω n ∫ 0 t 0   2 y t 0 2 s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ (E7)

Porém   ∫ 0 t 0   s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ = 1 ω n c o s ⁡ ω n t - t 0 - c o s ⁡ ω n t

∴ z ( t ) = x ( t ) - y ( t ) = - 2 Y ω n 2 t 0 2 c o s ⁡ ω n t - t 0 - c o s ⁡ ω n t ; t > t 0 (E8)

Resposta

z ( t ) = x ( t ) - y ( t ) = - 2 Y ω n 2 t 0 2 c o s ⁡ ω n t - t 0 - c o s ⁡ ω n t ; t > t 0

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