No teste de acionamento estático de um foguete, o foguete está ancorado a uma parede rigida por um sistema mola-amortecedor, como mostra a Figura 4.45(a). O impulso que age sobre o foguete alcança seu valor máximo F dentro de um tempo tão curto que pode ser desprezado, e permanece constante até o tempo de extinção t 0 , como indicado na Figura 4.45 ( b ) . O impulso imprimido ao foguete é dado por F = m 0 v , onde m 0 é a taxa constante de queima do combustivel e r é a velocidade do fluxo de gás expelida pelo motor. A massa inicial do foguete é M , de modo que sua massa a qualquer instante t é dada por m = M - m 0 t , 0 ≤ t ≤ t 0 . Se os dados forem k = 7,5 × 10 6   N / m , c = 0,1 × 10 6   N ⋅ s / m , m 0 = 10   k g / s , = 2.000 m / s , M = 2.000   k g e t 0 = 100   s

(1) derive a equação de movimento do foguete;(2) determine o máximo deslocamento em regime permanente do foguete, considerando uma massa média (constante) de M - 1 2 m 0 t 0 .

Passo 1

(1)  m x ¨ + c x ˙ + k x = F ( t )

Em que m ( t ) = M - m 0 t = ( 2000 - 10 t )  kg

E F ( t ) = m 0 v = 10 ( 2000 ) = 20000 N

Passo 2

(2) com m = M - 1 2 m 0 t 0 = 2000 - 1 2 ( 10 ) ( 100 ) = 1500 k g ,

Equação do movimento se torna

1500 x ¨ + 0.1 × 10 6 x ˙ + 7.5 × 10 6 x = 20000 =  constant e

Máximo deslocamento de estado estacionário

x p ( t ) = F k = 20000 7.5 × 10 6 = 0.002667 m

Resposta

1 20000 N

(2) 0.002667 m

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