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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 92

Usando o círculo de Mohr, determine os momentos de inércia e o produto de inércia da superfície do Problema 9.72 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos x e y de 30 ° no sentido anti-horário.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Do Problema 9 . 80 temos os seguintes momentos de inércia e produto de inércia:

I x = 68,96 × 10 6   m m 4

I y = 132,48 × 10 6   m m 4

I x y = - 21,6 × 10 6   m m 4

Analisando o círculo de Mohr, que é definido pelo diâmetro X Y , temos que:

X 68,96 × 10 6 , - 21,6 × 10 6

E:

Y 132,48 × 10 6 , 21,6 × 10 6

A partir disso, podemos achar o momento de inércia do ponto médio do círculo de Mohr. Temos que:

I m é d = 1 2 I x + I y

I m é d = 1 2 68,96 × 10 6 + 132,48 × 10 6

I m é d = 100,72 × 10 6   m m 4

Passo 2

O raio R do círculo de Mohr será:

R = I x - I y 2 2 + I x y 2

R = 1 2 68,96 × 10 6 - 132,48 × 10 6 2 + - 21,6 × 10 6 2

R = 38,409 × 10 6   m m 4

Passo 3

Temos então o seguinte círculo de Mohr:

Podemos encontrar θ m a partir de:

tan ⁡ 2 θ m = - 2 I x y I x - I y

tan ⁡ 2 θ m = - 2 - 21,6 × 10 6 68,96 × 10 6 - 132,48 × 10 6

tan ⁡ 2 θ m = - 0,68010

2 θ m = - 34,220 °

Ou:

α = 180 ° - 34,220 °

α = 85,780 °

Passo 4

Determinaremos agora os momentos de inércia e o produto de inércia em relação aos novos eixos obtidos por rotação dos eixos x e y em torno de O de 30 ° no sentido horário:

I x ' = I m é d + R cos ⁡ β

I x ' = 100,72 × 10 6 + 38,409 × 10 6 cos ⁡ 85,780 °

Logo:

I x ' = 103,5 × 10 6   m m 4

Temos também que:

I y ' = I m é d - R cos ⁡ β

I y ' = 100,72 × 10 6 - 38,409 × 10 6 cos ⁡ 85,780 °

I y ' = 97,9 × 10 6   m m 4

E:

I x ' y ' = - R sen ⁡ β

I x ' y ' = - 38,409 × 10 6 sen ⁡ 85,780 °

I x ' y ' = - 38,3 × 10 6   m m 4

Resposta

I x ' = 103,5 × 10 6   m m 4

I y ' = 97,9 × 10 6   m m 4

I x ' y ' = - 38,3 × 10 6   m m 4

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