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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 102

Usando o círculo de Mohr para a superfície indicada, determine a orientação dos eixos centroidais principais e os valores correspondentes dos momentos de inércia.

Superfície do Problema 9.73 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Do Problema 9.44 temos os seguintes momentos de inércia e produto de inércia:

I x = 7,01026 × 10 6   m m 4

I y = 1,808 × 10 6   m m 4

I x y = - 1,71 × 10 6   m m 4

Analisando o círculo de Mohr, que é definido pelo diâmetro X Y , temos que:

X 7,01026 × 10 6 , - 1,71 × 10 6

E:

Y 1,808 × 10 6 , 1,71 × 10 6

A partir disso, podemos achar o momento de inércia do ponto médio do círculo de Mohr. Temos que:

I m é d = 1 2 I x + I y

I m é d = 1 2 7,01026 × 10 6 + 1,808 × 10 6

I m é d = 4,41 × 10 6   m m 4

Passo 2

O raio R do círculo de Mohr será:

R = I x - I y 2 2 + I x y 2

R = 1 2 7,01026 × 10 6 - 1,808 × 10 6 2 + - 1,71 × 10 6 2

R = 9,7 × 10 6   m m 4

Passo 3

Podemos encontrar θ m a partir de:

tan ⁡ 2 θ m = - 2 I x y I x - I y

tan ⁡ 2 θ m = - 2 - 1,71 × 10 6 7,01026 × 10 6 - 1,808 × 10 6

tan ⁡ 2 θ m = 0,6 5740

2 θ m = 33,32 °

E:

θ m = 16,6 °

Passo 4

Vamos usar o círculo de Mohr para determinar a orientação dos eixos principais na origem e os valores correspondentes dos momentos de inércia em relação a novos eixos obtidos por rotação dos eixos x e y em torno de O de 16,6 ° no sentido anti-horário:

I m á x , m í n = I m é d ± R

I m á x , m í n = 4,41 × 10 6 ± 9,7 × 10 6

Logo:

I m á x = 14,11 × 10 6

E:

I m í n = - 5,3 × 10 6

Portanto, podemos concluir que no círculo de Mohr é visto que a é oo eixo que corresponde a I m í n e o eixo b corresponde a I m á x .

Resposta

θ m = 16,6 °

I m á x = 14,11 × 10 6

E:

I m í n = - 5,3 × 10 6

Portanto, podemos concluir que no círculo de Mohr é visto que a é oo eixo que corresponde a I m í n e o eixo b corresponde a I m á x .

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