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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 62

O valor rms (valor quadrático médio) de uma função, x ( t ) , é definido como a raiz quadrada da média dos valores de x ( t ) ao quadrado durante um período τ :

x r m s = 1 τ ∫ 0 τ x t 2   d t  

Usando essa definição, determine o valor rms da função:

x t = X sin ⁡ ω t = X sin ⁡ 2 π t τ

Passo 1

Faaala, amigos? Bora pra mais uma questão boa!

Vamos reunir o que nós temos pra trabalhar:

x t = X sin ⁡ ω t = X sin ⁡ 2 π t τ

x r m s = 1 τ ∫ 0 τ x t 2   d t  

Nessa primeira equação de x t , se nós fizermos sin 2 ⁡ 2 π t τ , nós teremos que:

sin 2 ⁡ 2 π t τ = 1 - cos ⁡ 4 π t τ 2

Passo 2

Essa relação facilita o trabalho de descobrir o rms. Nessa representação, elevaremos tudo a 1 2 equivalendo à raiz quadrada da fórmula. Assim teremos que:

x r m s = X 2 τ ∫ 0 τ 1 2 - 1 2 cos ⁡ 4 π t τ   d t   1 2 = X 2 τ t 2 - 1 2 τ 4 π   sin ⁡ 4 π t τ τ 0 1 2

X 2 τ t 2 - τ 8 π   sin ⁡ 4 π - 0 + 0 1 2 = X 2

Resposta

x r m s = X 2

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