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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 20

Uma viga da madeira AB de comprimento L e seção transversal retangular suporta uma força uniformemente distribuída w e é vinculada conforme mostra a figura. (a) Mostre que a relação τ m / σ m dos valores máximos das tensões de cisalhamento e normal na viga é igual a 2 h / L , em que h e L são, respectivamente, a altura e o comprimento da viga. (b) Determine a altura h e a largura b da viga, sabendo que L = 5 m ,   w = 8 k N / m ,   τ = 1,08 M P a   , σ m = 12   M P a .

Passo 1

Falaiii pessoal, borá lá?

Localizando a força de reação no ponto C por aplicação de momento de equilíbrio sobre D

∑ M D = 0

R C × L 2 - w × L L / 2 2 = 0

R C × L 2 - w × L L 2 = 0

R C - w × L 2 = 0

R C = w L 2

Onde w é o peso da carga uniformemente e L é o comprimento da viga

Passo 2

Aplicando a força de equilibro em relação vertical para encontrar a reação no ponto D

∑ F y = 0

R C + R D - w × L = 0

Substituindo R c temos

R D = w × L - w × L 2

R D = w L 2

Passo 3

Localizando a força de cisalhamento entre A e C

V = w x

Substituindo a força de cisalhamento no ponto A por 0 em x

V A = w 0

= 0

No ponto C substituindo L / 4 em x

V C = w L 4

V C = w L 4

Passo 4

Localizando a forca de cisalhamento entre C e D

V = w x - R C

V C = w L 4 - w L 2

V C = - w L 4

No ponto D

V D = w L 2 + L 4 - w L 2

V D = w 3 L 4 - 2 w L 4

V D = - w L 4

Passo 5

Localizando a força de cisalhamento entre D e B

V = w x - R C - R D

V D = w L 2 + L 4 - w L 2 - w L 2

V D = 3 w L 4 - w L

V D = - w L 4

No ponto B

V B = w L - w L 2 - w L 2

V B = w L - w L

V B = 0

Todas as equações da força de cisalhamento são equações de linha reta, portanto, o valor máximo da força de cisalhamento é

w L 4

Passo 6

Vamos encontrar agora o momento de flexão entre a seção A e C.

M = - w ⋅ x ⋅ x 2

M = - w x 2 2

Substituindo 0 para x, para encontrar momento de flexão no ponto A

M A = w 0 2 2

M A = 0

No ponto C

M C = - w L / 4 2 2

M C = - w L 2 32

Passo 7

Iremos encontrar o momento de flexão entre a seção C e D

M = - w ⋅ x ⋅ x 2 + R C x - L 4

M = R C x - L 4 - w x 2 2

Substituindo L / 4 para x, e w L / 2 para R C para encontrar momento de flexão no ponto B

M C = R C L 4 - L 4 - w 2 L 4 2

M C = 0 - w L 2 32

M C = - w L 2 32

No ponto D

M D = w L 2 L 4 - L 2 - L 4 - w 2 L 4 - L 2 2

M D = w L 2 3 L 4 - L 4 - w 2 3 L 4 2

M D = w L 2 2 L 4 - w 2 9 L 2 16

M D = 8 w L 2 32 - 9 w L 2 32

M D = - w L 2 32

Passo 8

Iremos encontrar o momento de flexão entre a seção D e B

M = - w ⋅ x ⋅ x 2 + R C x - L 4 + R D x - 3 L 4

M = R C x - L 4 + R D x - 3 L 4 - w x 2 2

Substituindo 3 L / 4 para x, e w L / 2 para R D , e w L / 2 para R C para encontrar momento de flexão no ponto D

M D = w L 2 3 L 4 - L 4 + w L 2 3 L 4 - 3 L 4 - w 2 3 L 4 2

M D = 8 w L 2 32 - 9 w L 2 32

M D = - w L 2 32

No ponto B

M B = w L 2 L - L 4 - w L 2 L - 3 L 4 - w L 2 2

M B = w L 2 3 L 4 - w 2 L 4 - w L 2 2

M B = 3 w L 2 3 L 4 + w L 2 L 4 - w L 2 2

M B = 3 w L 2 8 + w L 2 2 - w L 2 2

M B = 4 w L 2 8 - w L 2 2

M B = 0

Portanto o valor máximo do momento fletor é

- w L 2 2

Passo 9

  1. Encontraremos a razão entre a tensão de cisalhamento e a tensão de flexão

    2. τ m σ m = 3 2 v m á x A M m á x y I

    = 3 2 v m á x A   M m á x y I

    τ m σ m = - 3 2 w L 4 × b × h b h 3 12 - w L 2 2 × h 2

    = 3 w L 8 b h b h 3 6 32 w L 2 h

    = 3 w L 8 b h 16 b h 3 3 w L 2 h

    τ m σ m = 2 h L

    Portanto, a relação está comprovada.

    Passo 10

  2. Encontraremos a altura da viga usando a relação

τ m σ m = 2 h L

1.08 12 = 2 h 5

h = 1.08 × 5 12 × 2

h = 0.225   m

Passo 10

Encontrando a amplitude usando a seguinte relação

τ m = 3 2 v m á x A

= 3 2 w L 4 b h

= 3 8 w L b h

b = 3 w L 8 τ m h

Substituindo os valores numéricos

b = 3 × 8 × 5 × 10 3 8 × 1.08 × 10 6 × 0.255

b = 0.061728   m

Portanto, a altura da seção transversal é de 0.225   m e a largura é de 0.061728   m .

Resposta

Vide o passo a passo.

Ver Outros Exercícios desse livro