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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 42

Calcule o E Q M (erro quadrático médio), dado por ( 11.20 ) ,   para os estimadores S 2   e   σ ^ 2   no caso de população normal. Compare esses dois   E Q M . Qual estimador você escolhe-

ria, se o critério de escolha é ter o menor   E Q M ?

Passo 1

Primeiro, em ( 11.20 ) , temos a seguinte equação:

E Q M T ; θ = V a r T + E T - θ 2

Onde T   é   u m   e s t i m a d o r   p a r a   u m   p a r â m e t r o   θ   q u a l q u e r .

E ( E T - θ ) é o viés do estimador, o que significa que para estimadores não-viesados, E T - θ = 0

Passo 2

Temos as seguintes definições para σ ^ 2   e   S 2 :

σ ^ 2 = ∑ i = 1 n x i - X - 2 n       e     S 2 = ∑ i = 1 n x i - X - 2 n - 1

Portanto, existe a seguinte relação entre ambos:

σ ^ 2 = n - 1 n .   S 2

Sabendo disso, vamos encontrar a esperança para S 2 :

  1. E S 2 = 1 n - 1 ∑ i = 1 n E x i 2 - E X - 2 = 1 n - 1 ∑ i = 1 n σ 2 + μ 2 - σ 2 n + μ 2 = σ 2

    2. Dessa forma a esperança para σ ^ 2   é a seguinte:

    E σ ^ 2 = E n - 1 n .   S 2 = n - 1 n   E S 2 = n - 1 n σ 2

    E concluímos que σ ^ 2 é um estimador viesado de σ 2 , enquanto que S 2 é não-viesado para o mesmo parâmetro.

    Passo 3

    Agora temos que encontrar a variância para cada estimador:

  2. V a r S 2 = V a r ∑ i = 1 n x i - X - 2 n - 1 = 1 n - 1 2 ∑ i = 1 n V a r x i 2 - V a r X - 2 = 2   .   σ 4 n - 1

E portanto:

V a r σ ^ 2 = V a r n - 1 n .   S 2 = n - 1 2 n 2   V a r S 2 = n - 1 n 2 2 σ 4

Resposta

Podemos encontrar o erro quadrático médio:

E Q M S 2 = V a r S 2 - 0 = 2   .   σ 4 n - 1

E

E Q M σ ^ 2 = V a r σ ^ 2 - E σ ^ 2 - σ 2 2 =

E Q M σ ^ 2 = n - 1 n 2 2 σ 4 - σ 4 n 2 = σ 4 n 2 2 n - 3 = 2 n - 3 n - 1 2 n 2   .   E Q M S 2

Como para qualquer n > 1 , o termo 2 n - 3 n - 1 2 n 2 < 1

Concluímos que, E Q M σ ^ 2 < E Q M S 2 e então que o melhor estimador será o σ ^ 2 .

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