Exercícios de Estimador Não Tendencioso e EQM - Lista de Exercícios Resolvida

Sejam uma amostra aleatória da variável aleatória com distribuição Bernoulli .

1. Qual a distribuição de ?
2. Considere os dois seguintes estimadores para : e . Esses estimadores são não tendenciosos (não viciados) para ?
3. Expresse o erro quadrático médio desses dois estimadores em função de e .
4. Suponha e faça um único gráfico mostrando o comportamento do em função de para os dois estimadores.

Um administrador do governo quer avaliar a proporção de aprovação da comunidade sobre determinado projeto. Para isso fez uma pesquisa de opinião selecionando ao acaso pessoas da população de interesse. Considerando favorável e desfavorável, temos então variáveis aleatórias iid , todas elas com distribuição de Bernoulli. Considere as quatro seguintes alternativas de estimador para :

1. Qual é o viés (ou vício) de cada um desses estimadores?
2. Expresse o erro quadrático média de cada um deles em função de . Ordene esses estimadores em termos de seus , e diga qual é o melhor de acordo com esse critério.
3. Se os dados coletados foram:

Qual é a estimativa de para cada uma das quatro alternativas?

Seja uma v.a. com média e variância . Seja uma amostra aleatória de . A partir desta amostra aleatória, podemos construir o estimador para a média.

1. Calcule o viés deste estimador.
2. Calcule o erro quadrático médio deste estimador.
3. Ao comparar e , qual deles é mais indicado para estimar ? Justifique.

Suponha que a variável aleatória

siga distribuição Exponencial com parâmetro desconhecido, e tome uma amostra aleatória de . Denote por a mediana de (lembre que , com a função de densidade da v.a. ), e seja um estimador de , em que denota a média amostral de .

1. é um estimador não-tendencioso para ? Por quê?
2. Obtenha o erro médio quadrático de como estimador de .

Considere uma amostra aleatória de uma v.a. com distribuição normal. Mostre se a variância amostral é um estimador tendencioso ou não para a variância populacional .

Lembrar que:

Seja uma v.a. com média e variância . Seja uma amostra aleatória de . A partir desta amostra aleatória, podemos construir o estimador para a média.

1. Calcule o viés deste estimador.
2. Calcule o erro quadrático médio deste estimador.
3. Ao comparar e , qual deles é mais indicado para estimar ? Justifique.

Suponha que a variável aleatória

siga distribuição Exponencial com parâmetro desconhecido, e tome uma amostra aleatória de . Denote por a mediana de (lembre que , com a função de densidade da v.a. ), e seja um estimador de , em que denota a média amostral de .

1. é um estimador não-tendencioso para ? Por quê?
2. Obtenha o erro médio quadrático de como estimador de .

Sejam T1 e T2 dois estimadores não tendenciosos do parâmetro θ tais que

Considere o estimador de θ definido por

a) Para que valores de α, T é um estimador não tendencioso de θ?

b) Expresse a variância de T em função de α.

c) Para que valor de α, a variância de T é mínima?

Seja uma variável aleatória com distribuição , e seja uma amostra aleatória da variável . Considere os seguintes dois estimadores da variância :

em que . Sabe-se que é um estimador não-viesado para , e que .

(b) Compare os Erros Quadráticos Médios (EQM) dos estimadores e . Qual deles tem menor EQM?

Seja uma variável aleatória com distribuição , e seja uma amostra aleatória da variável . Considere os seguintes dois estimadores da variância :

em que . Sabe-se que é um estimador não-viesado para , e que .

(a) Calcule o viés de .

Sejam uma amostra aleatória da variável aleatória com distribuição Bernoulli .

1. Qual a distribuição de ?
2. Considere os dois seguintes estimadores para : e . Esses estimadores são não tendenciosos (não viciados) para ?
3. Expresse o erro quadrático médio desses dois estimadores em função de e .
4. Suponha e faça um único gráfico mostrando o comportamento do em função de para os dois estimadores.

Suponha que o número de falhas de um determinado tipo de máquina ao longo de 10 anos de uso numa indústria seja uma variável aleatória que segue o modelo Poisson de taxa a ser estimada a partir de uma amostra aleatória de tamanho .

(a) Mostre que a média amostral é um estimador não viesado (não tendencioso) para .

(b) Utilizando a relação , calcule e .

(c) Considere agora o estimador para . Mostre que é viesado (viciado, tendencioso) e calcule seu viés (vício).

Sejam a média de uma amostra aleatória de dimensão extraída de uma população normal de valor esperado µ e variância , e a média de uma amostra aleatória de dimensão , independente da primeira, extraída de uma população normal de valor esperado µ e variância . Mostre que:

(a) Se é um estimador não viesado de µ.

(b) A variância do estimador em (a) é mínima quando

Para estimar a média de uma população, foram propostos três estimadores não viesados, , e , obtidos a partir de três amostras independentes, tal que . Considere os seguintes estimadores ponderados de :

a) Determine se os estimadores , e são ou não viesados.

b) Qual estimador possui menor erro quadrático médio (EQM)?