Enunciado

Considere a função densidade de probabilidade

Encontre o estimador de máxima verossimilhança para theta.

Passo 1

A função de densidade de probabilidade é:

f ( x ) = 1 θ 2 x e - x / θ ,   0 ≤ x < ∞ ,   0 < θ < ∞

Vamos encontrar o estimador de máxima verossimilhança para θ .

L ( θ ) = 1 θ 2 x 1 e - x 1 θ × 1 θ 2 x 2 e - x 2 θ × . . . × 1 θ 2 x n e - x n θ

= 1 θ 2 n ∏ i = 1 n x i e x i θ  

Passo 2

Aplicando log nos dois lados…

l o g L ( θ ) = n l o g 1 θ 2 + l o g ∏ i = 1 n x i - ∑ i = 1 n x i θ

Diferenciando em relação à θ e igualando à zero, nós chegamos em:

θ ^ = 1 2 n ∑ i = 1 n x i

Resposta

θ ^ = 1 2 n ∑ i = 1 n x i

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