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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 1b

Para decidirmos se os habitantes de uma ilha são descendentes da civilização A ou B,

iremos proceder do seguinte modo:

(i) selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha, e determinamos a altura

média deles;

(ii) se essa altura média for superior a 176, diremos que são descendentes de B; caso

contrário, são descendentes de A.

Os parâmetros das alturas das duas civilizações são:

A : μ = 175     e   σ = 10

B : μ = 177   e   σ = 10

Definamos:

E r r o   d e   t i p o   I — dizer que os habitantes da ilha são descendentes de B quan-

do, na realidade, são de A.

E r r o   d e   t i p o   I I — dizer que são de A quando, na realidade, são de B.

(b) Qual deve ser a regra de decisão se quisermos fixar a probabilidade do e r r o   d e   t i p o   I   em

5%? Qual a probabilidade do e r r o   d e   t i p o   I I , nesse caso?

(c) Se σ A = 5 , como ficariam as respostas de (b)?

(d) Quais as probabilidades do e r r o   d e   t i p o   I I , nas condições da questão (b), se a média

μ B = 178 ? e   μ B = 180 ? e   μ B = 181 ?   Coloque num gráfico os pares μ B ; P e r r o   I I μ B .

Passo 1

(b) α = 5 % = P E r r o   I = P X - > X c 1 X ~ N 175 ; 10 2 = P Z > X c 1 - μ σ 2 n   =

P Z > X c 1 - 175 1 = 0,05

Da tabela de distribuição normal α = 5 % → z = 1,64

Portanto:

X c 1 - 175 = 1,64 → X c 1 = 176,64

Logo, a região crítica nesse caso será: R C = ] 176,64   ;   + ∞ [

β = P E r r o   I I = P X - ≤ 176,64   X ~ N ( 177   ; 10 2 ) ) =

P ( Z ≤ 0,36 ) = 0,5 - 0,14058 = 0,36

Passo 2

(C) Para σ A = 5 :

α = 5 % = P X - > X c 2 X ~ N 175 ; 5 2 = P Z > X c 2 - 175 5 2 100 =

X c 2 - 175 5 10 = 1,64 → X c 2 = 175,82

Logo, R C = ] 175,82   ;   + ∞ [

β = P E r r o   I I = P X - ≤ 175,82 X ~ N 177 ; 10 2 =

P Z ≤ 175,82 - 177 1 = P Z ≤ - 1,18 = 0,119

Passo 3

(D) da questão (b): α = 5 % e R C = ] 176,64   ;   + ∞ [

  1. Para μ B = 178 :

    2. β = P X - ≤ 176,64 X ~ N 178 ; 10 2 = P Z ≤ 176,64 - 178 1 = P Z ≤ - 1,36 = 8,7 %

  2. Para μ B = 180 :

    3. β = P X - ≤ 176,64 X ~ N 1 80 ; 10 2 = P Z ≤ 176,64 - 180 1 = P Z ≤ - 3,36 = 0,04 %

  3. Para μ B = 181 :

β = P X - ≤ 176,64 X ~ N 18 1 ; 10 2 = P Z ≤ 176,64 - 181 1 = P Z ≤ - 4,36 = 0,001 %

Resposta

(b) R C = ] 176,64   ;   + ∞ [     e   β = 36 %

(C) R C = ] 175,82   ;   + ∞ [     e   β = 11,9 %

(d)

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