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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 35

Duas moedas são lançadas simultaneamente. Uma delas é equilibrada e a outra tem probabilidade 2 / 3 de sair face cara. Considere as variáveis U : total de caras observadas e V é uma Bernoulli que assume valor 1 se as duas faces são iguais.

  1. Determine a conjunta de U e V e verifique se são independentes.
  2. Calcule a média e a variância de 2 U - V .

Passo 1

  1. Bom, vamos lá!!

Seja 1 = c a r a e 0 = c o r o a . Assim,

M 1 = 1 ,     p r o b   1 2 0 ,     p r o b 1 2 e M 2 = 1 ,     p r o b   2 3 0 ,     p r o b 1 3

Show de bola?!

Dessa forma, podemos escrever

U : T o t a l   d e   c a s o s   o b s e r v a d o s   ⇒ U = 0 ,     p r o b   1 / 6 1 ,     p r o b 3 / 6 2 ,     p r o b   2 / 6

E

V ~ B e r n o u l l i   ( p =   ? )

Vamos agora as continhas!!

Passo 2

Ao jogar uma vez, os possíveis cenários são:

1 M 1 . 1 M 2 ⇒ 1 2 . 2 3 = 1 3

0 M 1 . 1 M 2 ⇒ 1 2 . 2 3 = 1 3

1 M 1 . 0 M 2 ⇒ 1 2 . 1 3 = 1 6

0 M 1 . 0 M 2 ⇒ 1 2 . 1 3 = 1 6

Beleza?!

Logo, teremos que a probabilidade das duas faces serem iguais é

1 3 + 1 6 = 3 6 = 1 2

Assim,

V ~ B e r n o u l l i   p =   1 2

Se você reparar, U e V não são independentes pois elas são geradas do mesmo processo.

Passo 3

  1. Temos que U e V são variáveis discretas, então a distribuição conjunta delas também será discreta.

P U = 0 , V = 0 = P ( V = 0 | U = 0 ) × P ( U = 0 )

Ou

P U = 0 , V = 0 = P ( U = 0 | V = 0 )   × P ( V = 0 )

Obs.: Essa última igualdade vem da probabilidade de obter zero caras dado que não tivemos faces iguais. Ou seja, essa probabilidade é igual a zero.

Assim,

P U = 0 , V = 0 = P U = 0 V = 0 × P V = 0

= 0 × 2 3 = 0

Da mesma forma,

P U = 2 , V = 0 = P U = 2 V = 0 × P V = 0

= 0 × 2 3 = 0

(pelo mesmo motivo do visto anteriormente).

P U = 1 , V = 0 = P U = 1 V = 0 × P V = 0

= 1 × 1 3 = 2 3

Obs.: V assume 0 quando as faces são diferentes, logo dada essa condição U   sempre assumira valor 1 .

Continuando...

P U = 0 , V = 1 = 1 3 × 1 3 = 1 9

P U = 2 , V = 1 = 2 3 × 1 3 = 2 9

P U = 1 , V = 1 = 0 × 1 3 = 0

Showzin até aqui?!

Passo 4

Logo, temos que

P U = 1 , V = 0 = 2 3 ;     P U = 0 , V = 1 = 1 9 ;   P U = 2 , V = 1 = 2 9

Assim,

E 2 U - V = E 2 U - E V = 2 E U - E [ V ]

⇒ E U = 0 × 1 6 + 1 × 3 6 + 2 × 2 6 = 3 + 4 3 = 7 6

E V = p = 1 3

Logo,

2 E U - E V = 2 × 7 6 - 1 3 = 7 - 1 3 = 2

Beleza?!

Passo 5

Calma que tá acabando!!!!

Assim,

V a r 2 U - V = V a r 2 U + V a r V - 2 C o v 2 U , V

⇒ V a r   U = E U 2 - E 2 U = 0 × 1 6 + 1 2 × 3 6 + 2 2 × 2 6 - 7 6 2

= 3 6 × 8 6 - 49 36 = 66 - 49 36 = 17 36

Então,

V a r   V = p 1 - p = 1 3 × 2 3 = 2 9

Agora falta calcularmos a C o v ( U , V ) . Assim teremos todas as parcelas que precisamos para achar a V a r   [ 2 U - V ] . Beleza?!

C o v U , V = ∑ i = 1 n p i U i - E [ U ] V i - E V

= 2 3 1 - 7 6 0 - 1 3 + 1 9 0 - 7 6 1 - 1 3 + 2 9 2 - 7 6 1 - 1 3

= 2 54 - 14 162 + 20 162 = 12 162 = 2 27

Logo,

V a r 2 U - V = 4 V a r U + V a r V - 4 C o v U , V

= 4 × 17 36 + 2 9 - 4 × 2 27

= 19 9 - 8 27 ≅ 1,815

Resposta

  1. V ~ B e r n o u l l i   p =   1 2 .   U e V não são independentes pois elas são geradas do mesmo processo.
  2. V a r 2 U - V ≅ 1,815
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