Enunciado
Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 13
O Exemplo 4.4 apresentou o conceito de tempo de avanço no fluxo de tráfego e propôs uma distribuição particular para X o tempo de avanço entre dois carros consecutivos selecionados aleatoriamente (em segundos). Suponha que, em um ambiente de tráfego diferente, a distribuição do tempo de avanço tenha a forma
a. Determine o valor de k para o qual f(x) é uma fdp legítima.
b. Obtenha a função de distribuição acumulada.
c. Use a fdc de (b) para determinar a probabilidade de o tempo de avanço exceder 2 segundos e também a probabilidade de ele estar entre 2 e 3 segundos.
d. Obtenha o valor médio do tempo de avanço e seu desvio padrão.
e. Qual é a probabilidade de o tempo de avanço estar dentro de 1 desvio padrão em relação à média?
Passo 1
Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Essa questão é bem longa né? Para resolvermos ela, vamos definindo cada parte conforme formos resolvendo. Então, bora láá!!!
Passo 2
A função é uma fdp legítima. Portanto, a integral sobre todos os valores possível de é igual a 1.
Como essa integral tem que ser igual a 1, então:
Passo 3
A função de distribuição cumulativa é a integral da fdp de todos os valores até .
Passo 4
A função de distribuição cumulativa de em é a probabilidade de no máximo :
Logo, a probabilidade de exceder 2 segundos é:
E a probabilidade de estar entre 2 e 3 segundos:
Passo 5
O valor esperado (ou média) é a soma (integral) do produto de cada possibilidade com sua probabilidade .
A variância pode ser calculada da seguinte forma:
E o desvio padrão é a raiz da variância:
Passo 6
Finalmente, para calcularmos essa probabilidade, precisamos determinar os valores que são um desvio padrão da média:
Logo, a probabilidade é definida por:
Resposta
Resolução nos passos anteriores.