a. Expresse o i-ésimo resíduo Yi Yˆ i (onde Yˆ i ˆ 0 ˆ 1xi ) na forma cj Yj , uma função linear dos Yj s. Em seguida, use regras de variância para provar que V(Yi Yˆ i ) é dada pela Expressão (13.2). b. É possível mostrar que Yˆi e Yi Yˆ i (o i-ésimo valor previsto e resíduo) são independentes entre si. Use essa constatação, a relação Yi Yˆ i (Yi Yˆ i ) e a expressão de V(Yˆ) da Seção 12.4 para provar novamente a Expressão (13.2). c. Quando xi afasta-se mais de x , o que ocorre com V(Yˆi ) e V(Yi Yˆ i)?

Passo 1

  1. Seja i   ∈ 1,2 , … , n , e observe iº residual. O seguinte é verdadeiro para a diferença de Y i   e   Y ^ i
  2. a estimativa de mínimos quadrados da interceptação é

    Usando o fato de que

    β ^ 1 = S x y S x x

    β ^ 1 = ∑ x i - x ¯ Y i - Y ¯ ∑ x i - x ¯ 2

    As constantes c j , j = 1,2 , … , n diferem dependendo da inicial ii que foi arbitrária. Quando j=i (onde o coeficiente j é na verdade i) a constante é

    Passo 2

    Para j ≠ i ,

    Para provar a afirmação sobre a variância, deve-se usar o fato de que as variáveis ​​aleatórias Y i ' s são independentes e as propriedades de variância são as seguintes

    Em seguida, para i=j (lembre-se de i arbitrário tomado no início)

    Para j ≠ i ,

    onde, somando para i ≠ j , obtém-se

    Agora somando todas as constantes c j ,   c 1 + c 2 + … + c n

    Assim, a variância é

    V Y i   - Y ^ i = σ 2 1 - 1 n - x i - x ¯ 2 S x x

    Passo 3

  3. A variância de uma variável aleatória   Y ^ i é
  4. O desvio padrão é a raiz quadrada da expressão.

    Deve-se usar o fato de que   Y ^ i e   Y i - Y ^ i são independentes; assim, vale o seguinte

    V Y i = V Y ^ i + Y i - Y ^ i = V Y ^ i + V Y i - Y ^ i

    V Y i - Y ^ i = V Y i - V Y ^ i

    = σ 2 - σ 1 n + x i -   x ¯ 2 S x x  

    = σ 2 1 - 1 n - x i - x ¯ 2 S x x

  5. Quanto mais x i é de x ¯ , valor de

x i - x ¯ 2

é maior e a variância de   Y ^ i aumenta. Por causa disso, e pelo fato de haver um "−" na frente do valor na expressão para variância

V ( Y i - Y ^ i )

Vai diminuir.

Resposta

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