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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 16

Para um modelo de regressáo linear simples

Y i = α + β x i + ϵ i ,   i = 1,2 , … , n ,

onde ϵ 's sâo independentes e normalmente distribuídos com médias zero e variâncias iguais σ 2 , mostre que Y ˆ e

B = ∑ i = 1 n     x i - x - Y i ∑ i = 1 n     x i - x - 2

têm covariância 0 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para um modelo de regressão linear simples Y i = α + β x i + ε i , , onde ε i 's são independentes e normalmente distribuídos com médias zero e variâncias iguais σ 2 , então mostramos que Y ‾ e B = ∑ i = 1 n   x i - x ‾ Y i ∑ i = 1 n   x i - x ‾ 2 tem variância zero. Por definição de covariância, encontramos o C o v ⁡ ( Y ‾ , B ) é

C o v ⁡ ( Y ‾ , B )   = E 1 n ∑ i = 1 n     Y i - 1 n ∑ i = 1 n     μ Y i ∑ i = 1 n     x i - x ‾ Y i ∑ i = 1 n     x i - x ‾ 2 - ∑ i = 1 n     x i - x ‾ μ Y i ∑ i = 1 n     x i - x ‾ 2   = ∑ i = 1 n     x i - x ‾ E Y i - μ Y i 2 + ∑ i ≠ j     x i - x ‾ E Y i - μ Y i Y j - μ Y j n ∑ i = 1 n     x i - x ‾ 2   = ∑ i = 1 n     x i - x ‾ σ Y i 2 + ∑ i ≠ j     C o v ⁡ Y i , Y j n ∑ i = 1 n     x i - x ‾ 2

Passo 2

Agora, para σ Y i 2 = σ 2 todos i , e C o v ⁡ Y i , Y j = 0 para i ≠ j . Portanto

C o v ⁡ ( Y ‾ , B ) = σ 2 ∑ i = 1 n     x i - x ‾ n ∑ i = 1 n     x i - x ‾ 2 = 0

Resposta

Resposta nos passos.

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