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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 67

Um pedaço de cano de PVC será colocado dentro de outro pedaço. O comprimento do primeiro pedaço é distribuído normalmente com valor médio de 20 pol e desvio padrão de 0,5 pol. O comprimento do segundo pedaço é uma va normal com média e desvio padrão de 15 pol e 0,4 pol, respectivamente. O valor da superposição é distribuído normalmente com valor médio de 1 pol e desvio padrão de 0,1 pol. Assumindo que os comprimentos e o valor da superposição sejam independentes um do outro, qual é a probabilidade de o comprimento total após a inserção estar entre 34,5 pol e 35 pol?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Temos 3 comprimentos de peça com variáveis aleatórias X 1 , X 2 , X 3 . Então, o comprimento total será:

T 0 = X 1 + X 2 - X 3

Onde, a terceira variável representa a parte sobreposta. Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

O valor médio é:

μ T 0 = E X 1 + X 2 - X 3 = E X 1 + E X 2 - E ( X 3 )

= 20 + 15 - 1

= 34

A variância:

σ T 0 2 = V X 1 + X 2 - X 3

= V X 1 + V X 2 + - 1 2 V X 3

= 0,25 + 0,16 + 0,01

σ T 0 2 = 0,42

Sendo assim, o desvio padrão é:

σ T 0 = 0,42 = 0,6481

Logo, a probabilidade do evento pedido no enunciado é definida pelo evento 34,5 ≤ T 0 ≤ 35 .

P 34,5 ≤ T 0 ≤ 35 = P 34,5 - 34 0,6481 ≤ T 0 - μ T 0 σ T 0 ≤ 35 - 34 0,6481

= P ( 0,77 ≤ Z ≤ 1,54 )

= P Z ≤ 1,54 - P ( Z ≤ 0,77 )

P 34,5 ≤ T 0 ≤ 35 = 0,1588

Resposta

P 34,5 ≤ T 0 ≤ 35 = 0,1588

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