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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 21

Seja X uma distribuição de Weibull com parâmetros α e β , então

E ( X ) = β ⋅ Γ ( 1 + 1 / α ) V ( X ) = β 2 Γ ( 1 + 2 / α ) - [ Γ ( 1 + 1 / α ) ] 2

a. Com base em uma amostra aleatória X 1 , … , X n , escreva equações para o método dos estimadores pelos momentos de β e α . Mostre que, uma vez obtida a estimativa de α , a estimativa de β é determinada numa tabela da função gama, e que a estimativa de α é a solução para uma equação complicada que envolve a função gama.

b. Se n = 20 , x ‾ = 28,0 , e ∑ x i 2 = 16.500 , calcule as estimativas. [Sugestão: [ Γ ( 1,2 ) ] 2 / Γ ( 1,4 ) = 0,95 .]

Passo 1

a. E ( X ) = β ⋅ Γ 1 + 1 α and E X 2 = V a r ⁡ ( X ) + [ E ( X ) ] 2 = β 2 Γ 1 + 2 α , então os estimadores de momento α ˆ e β   ˆ são a solução para X ‾ = β ˆ ⋅ Γ 1 + 1 α ˆ , 1 n ∑ X i 2 = β ˆ 2 Γ 1 + 2 α ˆ . Portanto β ˆ = X ‾ Γ 1 + 1 α ˆ , então um α ˆ está determinado Γ 1 + 1 α ˆ é avaliado e β ˆ então calculado. Desde X ‾ 2 = β ˆ 2 ⋅ Γ 2 1 + 1 α ˆ , 1 n ∑ X i 2 X ‾ 2 = Γ 1 + 2 α ˆ Γ 2 1 + 1 α ˆ , então esta equação deve ser resolvida para obter α ˆ .

Passo 2

b. a partir de a, 1 20 16,500 28.0 2 = 1.05 = Γ 1 + 2 α ˆ Γ 2 1 + 1 α ˆ , so 1 1.05 = . 95 = Γ 2 1 + 1 α ˆ Γ 1 + 2 α ˆ , e da dica, 1 α ˆ = . 2 ⇒ α ˆ = 5 . Então β ˆ = x ‾ Γ ( 1.2 ) = 28.0 Γ ( 1.2 ) .

Resposta

a . esta equação deve ser resolvida para obter α ˆ

b. 28.0 Γ ( 1.2 ) .

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