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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 11

De n 1 fumantes do sexo masculino escolhidos aleatoriamente, X 1 fumavam cigarro com filtro, enquanto de n 2 fumantes do sexo feminino selecionadas aleatoriamente, X 2 fumavam cigarro com filtro. Represente por p 1 e p 2 as probabilidades de um homem e uma mulher selecionados de modo aleatório, respectivamente, fumarem cigarro com filtro

a. Mostre que X 1 / n 1 - X 2 / n 2 é um estimador nãotendencioso para p 1 - p 2 . [Sugestâo: E X i = n i p i para i = 1,2 .]

b. Qual é o erro-padrão do estimador da parte (a)?

c. Como você usaria os valores observados de x 1 e x 2 para calcular o erro-padrão do seu estimador?

d. Se n 1 = n 2 = 200 , x 1 = 127 e x 2 = 176 , use o estimador da parte (a) para obter uma estimativa de p 1 - p 2 .

e. Use o resultado da parte (c) e os dados da parte (d) para calcular o erro-padrão do estimador.

Passo 1

a. Mostre que X 1 / n 1 - X 2 / n 2 é um estimador nãotendencioso para p 1 - p 2 . [Sugestâo: E X i = n i p i para i = 1,2 .]

a .   E X 1 n 1 - X 2 n 2 = 1 n 1 E X 1 - 1 n 2 E X 2 = 1 n 1 n 1 p 1 - 1 n 2 n 2 p 2 = p 1 - p 2 .

Passo 2

b. Qual é o erro-padrão do estimador da parte (a)?

b .   V a r ⁡ X 1 n 1 - X 2 n 2 = V a r ⁡ X 1 n 1 + V a r ⁡ X 2 n 2 = 1 n 1 2 V a r ⁡ X 1 + 1 n 2 2 V a r ⁡ X 2

1 n 1 2 n 1 p 1 q 1 + 1 n 2 2 n 2 p 2 q 2 = p 1 q 1 n 1 + p 2 q 2 n 2 e o erro padrão é a raiz quadrada dessa quantidade.

Passo 3

c. Como você usaria os valores observados de x 1 e x 2 para calcular o erro-padrão do seu estimador?

c .   C o m     p ^ 1 = x 1 n 1 , q ^ 1 = 1 - p ^ 1 , p ^ 2 = x 2 n 2 , q ^ 2 = 1 - p ^ 2 , o erro padrão estimado é p ^ 1 q ^ 1 n 1 + p ^ 2 q ^ 2 n 2 .

Passo 4

d. Se n 1 = n 2 = 200 , x 1 = 127 e x 2 = 176 , use o estimador da parte (a) para obter uma estimativa de p 1 - p 2 .

d .   p ^ 1 - p ^ 2 = 127 200 - 176 200 = . 635 - . 880 = - . 245

Passo 5

e. Use o resultado da parte (c) e os dados da parte (d) para calcular o erro-padrão do estimador.

e .   ( . 635 ) ( . 365 ) 200 + ( . 880 ) ( . 120 ) 200 = . 041

Resposta

a. p 1 - p 2 .

b. o erro padrão é a raiz quadrada dessa quantidade.

c. p ^ 1 q ^ 1 n 1 + p ^ 2 q ^ 2 n 2 .

d. - . 245

e. 041

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