Exercícios de Estimadores - Lista de Exercícios Resolvida

Suponha um experimento consistindo de provas de Bernoulli, com propriedades de sucesso . Seja X o número de sucessos, e considere os estimadores

a)

b)

Determine a esperança e variância de cada estimador. Por que não é um “bom” estimador?

Suponha que segue uma distribuição Normal de média e desvio padrão .

Temos uma amostra de unidades de , e os valores de são independentes.

Determine a distribuição da média amostral e seus parâmetros, sua esperança e sua variância.

Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável é Normalmente distribuída com variância igual a 4 unidades². Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 obtendo-se os seguintes valores:

1. Calcule a estimativa pontual da media populacional, com base nessa amostra.

Suponha uma população de estudantes. Queremos saber qual a média populacional da idade desses estudantes. Tomamos uma amostra de 10 estudantes e observamos as seguintes idades:

Não temos informações sobre a população, só sobre a amostra. É possível estimar o valor da média populacional mesmo assim? Como se chama esse estimador e de qual tipo ele é?

Qual a diferença entre parâmetro, estimador e estimativa? Dê exemplos.

Você é contratado para realizar pesquisas de opinião para um determinado candidato que está concorrendo a eleição presidencial de um dado sindicado. Cada pesquisa deve ser feita em uma amostra de sindicalizados e estão previstas repetições desta pesquisa. Determinar qual o modelo probabilístico que você adotaria para estimar a proporção de eleitores favoráveis a este candidato e deduza o estimador de máxima verossimilhança para tal parâmetro (proporção), mostrar todos os passos da solução.

Num estudo sobre o peso dos brasileiros, foram pesadas pessoas escolhidas de forma aleatória. Os resultados desta amostra podem ser denotados por . Seja a variável aleatória representando o peso de um brasileiro selecionado ao acaso. Admita que são conhecidos , e a probabilidade de que um brasileiro pese mais que 100 kg.

1. Sugerir um estimador para o peso médio dos brasileiros, e um estimador para a proporção de pessoas pesando mais que .
2. Expresse a média e a variância destes estimadores, em função de , e .
3. teria a mesma distribuição se estivéssemos amostrando pessoas sem reposição dentro de uma cidade cuja população é de pessoas para estudar o comportamento do peso nesta cidade? (Justificar).

O que vem a ser um “estimador” e uma “estimativa” de um parâmetro.

O que vem a ser um “estimador” e uma “estimativa” de um parâmetro.

O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com uma média de e um desvio padrão de .

1. O departamento de qualidade decidiu amostrar 49 impressoras para verificar seu correto funcionamento, isto é, que o diâmetro do ponto produzido esteja dentro dos critérios de conformidade da produção, e para o qual tolera um erro de com relação a sua média. Qual a probabilidade de que o ponto médio esteja dentro do intervalo de conformidade?

Você chega ao check-in de um aeroporto carregando uma mala que contém 10 pacotes de café, 5 pacotes de tapioca e 7 pacotes de feijão. Suponha que os pesos desses itens são todos v.a.’s independentes com distribuição Normal com as seguintes médias e desvios-padrão:

Pacotes de café: média e desvio-padrão .

Pacotes de tapioca: média e desvio-padrão .

Pacotes de feijão: média e desvio-padrão .

Suponha que o peso da mala vazia é 1,5 kg e que, além disso, você ainda carrega exatos 2,0 kg de roupas.

Pede-se:

1. Determinando o valor esperado e a variância do peso total da bagagem detalhando todos os cálculos, qual a probabilidade de que o peso de sua bagagem exceda os 20 kg permitidos para o embarque.
2. No counter foram amostradas 25 bagagens com um peso médio de e desvio-padrão de . A Aviação aérea deseja saber qual a probabilidade de que o peso médio das bagagens esteja entre e .

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

- Para utilizar a tabela da normal, ajustar para 2 casas decimais.

Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável é Normalmente distribuída com variância igual a . Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 obtendo-se os seguintes valores: 7,9 6,8 5,4 7,5 7,9 6,4 8,0 6,3 4,4 5,9. Sendo: e .

1. Elabore um procedimento para testar a afirmação do fabricante de que a média populacional da resistência é de pelo menos 7,8 contra a alternativa de que ela é estritamente menor que esse valor. Qual a sua conclusão ao nível ?
2. Qual seria o -valor deste teste?
3. Como você procederia, e qual seria a sua conclusão, se no item (a) não fosse conhecida a variância populacional?

Marque verdadeiro ou falso para cada uma das afirmações abaixo, justiçando sua resposta.

O erro quadrático médio do estimador média amostral sempre converge para zero quando (considerando que esse estimador está sendo utilizado para estimar o parâmetro média populacional com variância finita e conhecida).