Sejam s x e s y os desvios padrão amostrais dos xs e ys observados, respectivamente [portanto, s x 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1 e algo semelhante pode-se afirmar em relação a s2 y ].

Passo 1

A soma dos quadrados dos erros, SSE, é

S S E = ∑ y i - y i ^ 2 = ∑ [ y i - ( β ^ 0 + β ^ 1 x i )   ] ²  

A fórmula computacional para SSE é

S S E = ∑ y i 2 - β ^ 0 ∑ y i - β ^ 1 ∑ x i y i = S y y - β ^ 1 S x y

Pode-se usar o fato de que

para provar a igualdade na fórmula computacional.

A estimativa de mínimos quadrados da interceptação é

Passo 2

Substitua a estimativa do intercepto no SSE para obter o seguinte

Do fato de que a soma total dos quadrados é

Resposta

Substitua a estimativa do intercepto para obter o resultado.

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