Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 171
Suponha as seguintes características do processo de inspeção no Exercício 2-147. Se um operador verificar o parafuso, a probabilidade de um parafuso rosqueado incorretamente ser identificado é de 0,95. Se um parafuso verificado tiver sido rosqueado corretamente, a conclusão do operador será sempre correta. Qual é a probabilidade de no mínimo um parafuso na amostra de quatro ser identificado como sendo rosqueado incorretamente?
Passo 1
Vamos lembrar do exercício 2-147.
Vamos denotar com variável aleatória o número de parafusos incorretos selecionados na amostra aleatória de 4 parafusos de um total de 20 parafusos, dos quais 5 são incorretos.
O operador funciona da seguinte maneira:
- Se o parafuso estiver incorreto, o operador o identifica como incorreto com probabilidade 0,95 e é confundido com probabilidade 0,05.
- Se o parafuso estiver correto, o operador identifica-o como correto.
Nós temos que calcular a probabilidade de o operador identificar pelo menos um parafuso (na amostra aleatória) como incorreto (independentemente de o parafuso estar realmente incorreto ou correto).
Passo 2
Vamos introduzir a variável aleatória como o número de parafusos que o operador identifica como incorreto. (Nota: é claro que no geral . Então, vamos calcular:
É mais fácil calcular
com a análise de casos da variável .
Passo 3
Agora, vamos lembrar que no exercício 2-147, foi calculado que:
Geralmente, lembrando o significado dos coeficientes binomiais (ou notando que é
uma variável aleatória hipergeométrica, vamos ver na seção de variáveis aleatórias discretas no livro) nós podemos ver que:
Agora, a gente pode analisar os casos:
- , aqui certamente , porque o operador identifica os parafusos corretos
como corretos.
- , aqui com probabilidade , porque existe 1 parafuso que está incorreto e operador se confunde com a probabilidade .
- , aqui com probabilidade , porque existem 2 parafusos incorretos e o operador se confunde com a probabilidade .
- , aqui com probabilidade , porque existem 3 parafusos incorretos e o operador se confunde com a probabilidade .
- , aqui com probabilidade , porque existem 4 parafusos incorretos e o operador se confunde com a probabilidade .
Passo 4
Finalmente, vamos avaliar de acordo com os casos acima e com a primeira equação dessa questão:
E então: