Exercícios de Introdução à Variável Aleatória Discreta - Lista de Exercícios Resolvida

Suponha que uma moeda perfeita é lançada até que cara apareça pela primeira vez. Seja X o número de lançamentos até que isso aconteça. Obtenha a distribuição de X. (Observe que, nesse problema, pelo menos teoricamente, X pode assumir um número infinito de valores.)

Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, com reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas sem reposição, e defina v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

Considere o lançamento de três moedas. Se ocorre o evento, dizemos que temos uma sequência, ao passo que se ocorre o evento temos três sequências. Defina a variável aleatória = número de caras obtidas e = número de sequências, isso para cada resultado possível. Assim, e . Obtenha as distribuições de e .

O rótulo de uma garrafa de cerveja long neck indica que o conteúdo é de . Suponha que

a linha de produção encha as garrafas de forma que o conteúdo seja uniformemente distribuído no intervalo .

(a) Qual é a probabilidade de que uma garrafa tenha conteúdo superior a ?

(b) Qual é a probabilidade de que uma garrafa tenha conteúdo inferior a ?

(c) O controle de qualidade aceita uma garrafa com conteúdo dentro de do conteúdo exibido na lata. Qual é a probabilidade de garrafas serem rejeitadas nessa linha de produção?

Um supermercado vende pacotes com mangas a um preço de reais o pacote, comprando a um fornecedor que vende cada manga a real. Cada pacote vendido pelo supermercado apresenta uma manga inapropriada para consumo. Suponha que cada cliente do supermercado verifique a qualidade do pacote retirando, a uma só vez e ao acaso, duas mangas do pacote para inspeção. Suponha ainda que os clientes só levam o pacote se não encontrarem nenhuma manga inapropriada para consumo durante a inspeção. Calcule o lucro líquido esperado por pacote de manga do supermercado.

Uma pessoa está vendada e precisa desarmar uma bomba com fios, sendo fios azuis e fios vermelhos. Seja a variável aleatória que representa o número de fios azuis cortados nas duas primeiras tentativas e seja a variável aleatória que assume se o primeiro fio cortado é azul e se o primeiro fio cortado é vermelho.

(a) Obtenha a distribuição conjunta de .

(b) são independentes? Justifique.

Para a seguinte função:

1. Determine a constante para que seja uma função de probabilidade de uma variável aleatória .
2. Qual é a probabilidade quando .

Seja , observações de uma v.a. . Qual a condição que estas observações devem satisfazer para que ela seja considerada uma amostra aleatória.

Um atirador tenta acertar um alvo de média distância. Pelo seu histórico a chance de acertar o alvo é em cada tentativa. Considere as tentativas independentes. Definida a variável aleatória como o número de tiros até acertar o alvo, calcule a probabilidade de .

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Considere duas variáveis aleatórias e , independentes, e ambas com distribuição geométrica com parâmetro . Considere também duas variáveis e. O valor de é:

Seja , observações de uma v.a. . Qual a condição que estas observações devem satisfazer para que ela seja considerada uma amostra aleatória.

Uma variável aleatória discreta assume os valores com probabilidades respectivamente.

Encontre a função de distribuição, e faça o gráfico.

Uma variável aleatória discreta assume os valores com probabilidades respectivamente.

Calcule

Seja X uma variável aleatória que assume valores no conjunto . Sendo,

Em cada caso, calcule a esperança e variância da variável aleatória Y :