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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 18

Uma variável aleatória contínua X , que pode assumir valores entre x = 2 e x = 5 , tem função de densidade dada por f ( x   ) = 2 ( 1 + x ) / 27 . Determine

(a) P ( X < 4 ) ;

(b) P ( 3 ≤ X < 4 ) .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para resolvermos essa questão, vamos precisar calcular a probabilidade de uma função de densidade de uma variável aleatória contínua, para isso nós temos a seguinte fórmula:

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f x d x

Usamos integral neste caso, pois, variáveis contínuas consideram os números irracionais. Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Como a função só pode assumir valores entre x = 2 e x = 5 , a relação abaixo é verdadeira:

P X < 4 = P ( 2 ≤ X < 4 )

E a função é contínua, então, podemos fazer o seguinte:

= P ( 2 ≤ X ≤ 4 )

Agora, calculando a probabilidade com a equação do Passo 1.

P X < 4 = ∫ 2 4 f ( x ) d x

= ∫ 2 4 2 ( 1 + x ) 27 d x

= 2 27 ∫ 2 4 ( 1 + x ) d x

= 2 27 x + x 2 2 2 4

= 2 27 4 + 4 2 2 - 2 - 2 2 2

P X < 4 = 16 27

Passo 3

A função é contínua, então:

P 3 ≤ X < 4 = P ( 3 ≤ X ≤ 4 )

Usando a fórmula do Passo 1.

P 3 ≤ X < 4 = ∫ 3 4 f x d x

= ∫ 3 4 2 ( 1 + x ) 27 d x

= 2 27 ∫ 3 4 ( 1 + x ) d x

= 2 27 x + x 2 2 3 4

= 2 27 4 + 4 2 2 - 3 - 3 2 2

P 3 ≤ X < 4 = 1 3

Resposta

(a) 16 / 27

(b) 1 / 3

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