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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 13.Problemas Numéricos - Ex. 17

17 – Certos autores publicaram dados experimentais sobre o complexo He2, que durante muito tempo escapou de observações diretas. As observações foram feitas e temperaturas da ordem de 1 mK, compatíveis com os estudos teóricos que sugeriram o valor de hcDe para o He2 como cerca de 1,51 x 10-23 J, o valor de 2 x 10-26 J para hcD0, e Re igual a cerca de 297 pm.

A) Estime o nº de onda da vibração fundamental, a constante de força, o momento de inércia e a constante de rotação com base na aproximação do oscilador harmônico e do rotor rígido.

B) Um complexo com uma ligação tão fraca dificilmente será rígido. Estime o nº de onda mencionado e a constante de anarmonicidade com base no potencial de Morse.

Passo 1

A)

Vamos iniciar determinando o nº de onda da vibração fundamental, v, que pode ser estimado usando a expressão da constante de rotação especifica para o Hélio, cuja expressão é:

D e = D 0 + 0,5 v

Isolando

v = 2 ( D e - D 0 )

Onde,

h c D e = 1,51 x 10 - 23 J

D e = 1,51 x 10 - 23 J h c

E,

h c D 0 = 2 x 10 - 26 J

D 0 = 2 x 10 - 26 J h c

Onde, h é a constante de Planck, e c é a velocidade da luz no vácuo

h = 6,626 x 10 - 34 J   s

c = 2,998 x 10 8   m   s - 1

Assim,

v = 2 h c ( 1,51 x 10 - 23 J - 2 x 10 - 26 J )

v = 2 ( 1,51 x 10 - 23 J - 2 x 10 - 26 J ) 6,626 x 10 - 34 J   s 2,998 x 10 8   m   s - 1

v = 152   m - 1

Passo 2

A constante de força, k, pode ser estima através de sua relação com a frequência vibracional pela seguinte equação:

ω = k m e f f 0,5

Onde, meff é a massa efetiva do átomo de hélio, que é dada por:

m e f f = 0,5 m H e

Sendo mHe a massa de um átomo de Hélio, que é a unidade de massa atômica dividido pelo nº de Avogadro, que vale:

m H e = 4,0 u 6,02 x 10 23 u   g - 1 = 6 , 64 x 10 - 24 g = 6,64 x 10 - 27 k g

Relembrado também que a frequência vibracional pode ser estimada pelo nº de onda, v, pela seguinte expressão

ω = 2 π c v

Assim,

k m e f f 0,5 = 2 π c v

Isolando k:

k = m e f f 2 π c v 2

k = 0,5 m H e 2 π c v 2

Aplicando os valores:

k = 0,5 6,64 x 10 - 27 k g 2 π 2,988 x 10 8 m   s - 1 152   m - 1 2

k = 2,72 x 10 - 4   k g   s - 2

Passo 3

O momento de inércia é definido matematicamente como o produto entre a massa, que neste caso será a massa efetiva, e o quadrado do raio, Re, assim

I = m e f f R e 2

I = 0,5 m H e R e 2

Onde,

R e = 297   p m = 297 x 10 - 12 m

Aplicando os valores

I = 0,5 6,64 x 10 - 27 k g 297 x 10 - 12 m 2

I = 2,93 x 10 - 46 k g   m 2

Passo 4

Agora vamos determinar a constante rotacional.

A constante rotacional, B, pode ser calculada pela seguinte expressão:

B = ħ 4 π c I

Onde, ħ é a constante de Planck dividido por 2π:

ħ = h 2 π = 6,626 x 10 - 34 J   s 2 π = 1,0546 x 10 - 34   J   s

Aplicando os valores:

B = 1,0546 x 10 - 34   J   s 4 π 2,988 x 10 8 m   s - 1 2,93 x 10 - 46 k g   m 2

B = 95,5   m - 1

Passo 5

B)

Vamos determinar o nº de onda e a constante de anarmonicidade, para o caso do potencial de Morse.

No potencial de Morse, a constante de rotação especifica, De, é dada por

D e = D 0 + 0,5 1 - 0,5 x e v

Onde, xe é a constante de anarmonicidade, que é expressa matematicamente pela seguinte equação:

x e = v 4 D e

Substituindo,

D e = D 0 + 0,5 1 - 0,5 v 4 D e v

Vamos tentar isolar v na eq. acima para encontrarmos o valor de v:

D e = D 0 + 0,5 v - 0,06 25 v 2 D e

0,0625 v 2 D e - 0,5 v + D e - D 0 = 0

Passo 6

Chegamos então em uma eq. do segundo grau para v, e podemos assim usar a eq. de Bhaskara para determinar v. Por Bhaskara:

v = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

v = 0,5 ± 0,5 2 - 4 0,0625 D e D e - D 0 2 0,0625 D e

Simplificando,

v = 4 D e 1 - D 0 D e

Aplicando os valores

v = 4 1,51 x 10 - 23 J 6,626 x 10 - 34 J   s 2,998 x 10 8   m   s - 1 1 - 2 x 10 - 26 J 1,51 x 10 - 23 J

v = 293   m - 1

Calculando a constante de anarmonicidade:

x e = v 4 D e

x e = 293   m - 1 6,626 x 10 - 34 J   s 2,998 x 10 8   m   s - 1 4 1,51 x 10 - 23 J

x e = 0,96

Resposta

A)

v = 152   m - 1

k = 2,72 x 10 - 4   k g   s - 2

I = 2,93 x 10 - 46 k g   m 2

B = 95,5   m - 1

B)

v = 293   m - 1

x e = 0,9 6

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