Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas Teóricos - Ex. 17
17 – A energia potencial da rotação de um grupo CH3 em relação ao seu vizinho no etano pode ser expressa como
Mostre que para pequenos deslocamentos o movimento do grupo é harmônico e calcule a energia de excitação de v = 0 para v = 1. O que você espera que ocorra com os níveis de energia e as funções de onda quando a excitação aumenta?
Passo 1
Vamos utilizar apenas poucos termos da expansão em série de potência de Taylor, pois foi dito sobre pequenos deslocamentos, assim podemos considerar apenas os primeiros termos da série, levando em conta que a precisão é boa para pequenos deslocamentos
Usando os dois primeiros termos da expansão em série de Taylor da função cosseno:
Passo 2
Assim,
Passo 3
Vamos pegar a eq. de Schrödinger cuja expressão é:
Assim, substituindo:
Esta eq. acima que obtivemos tem a forma de uma função de onda de um oscilador harmônico, tal como mostra a eq. 9.24 do Atkins.
Passo 4
A diferença dos níveis adjacentes de energia é dada pela expressão 9.26 do Atkins:
Onde, pela eq. 9.25:
Onde, k é a constante de força que pode ser expresso em termos da energia potencial, conforme a eq. 9.23:
Em termos doa ângulo ϕ:
Assim,
Como vimos anteriormente,
Logo,
Substituindo,
Consequentemente, a diferença de energia de excitação dos níveis adjacentes de v = 0 e v = 1 será:
Passo 5
Analisando para a expressão da energia potencial que encontramos:
Se o deslocamento for suficientemente grande, a energia potencial não sobe rapidamente com o ângulo como seria em um oscilador harmônico.
Cada nível de energia sucessivo se tornaria menor do que aquele para o oscilador harmônico, então os níveis de energia se tornarão progressivamente mais próximos um do outro.