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Enunciado

Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 1.A - Ex. 20

Imagine que toda a massa de um átomo está concentrada no núcleo, uma esfera de raio 1,5 × 10 - 5 p m .

  1. Se a massa de um átomo de carbono é 2,0 × 10 - 23 g , qual é a densidade de um núcleo de carbono? O volume de uma esfera de raio r é 4 3 π r ³ .
  2. Qual seria o raio da Terra se sua matéria fosse comprimida até ter a mesma densidade de um núcleo de carbono? (O raio médio da Terra é 6,4 × 10 ³   k m ,   e sua densidade média é 5,5   g . c m - 3 ).

Passo 1

Muito bem galera, o que faremos aqui? Na letra a precisamos achar a densidade de um núcleo de carbono… Hum… E o que sabemos?

Nosso enunciado disse pra gente o volume de uma esfera, como no caso do átomo de carbono, e ele é dado por:

V á t o m o = 4 3 π r ³

E sendo o nosso raio:

r = 1,5 × 10 - 5 p m

Podemos achar o volume do nosso átomo! Mas antes… Vamos lembrar que aquele p ali na unidade do raio é o prefixo pico e ele equivale a 10 - 12 , beleza?

Vamos ter então:

r = 1,5   ×   10 - 5 × 10 - 12 m

r = 1,5 × 10 - 17   m

Nosso volume será:

V á t o m o = 4 3   .   π   .   ( 1,5 × 10 - 17   m ) ³

V á t o m o = 1,41 × 10 - 50   m ³

E se a gente passar para cm³, teremos:

V á t o m o = 1,41 × 10 - 50   m ³ × 10 6   c m ³ 1   m ³

V á t o m o = 1,41 × 10 - 44   c m ³

E se já temos a massa, que foi dada no enunciado, a densidade ficará o seguinte:

d á t o m o = m á t o m o V á t o m o

d á t o m o = 2,0 × 10 - 23 g 1,41 × 10 - 44   c m ³

d á t o m o = 1,42 × 10 21 g c m 3

Finalizamos a letra a! Bora pra b!

Passo 2

Bom, na letra b nós queremos o raio da Terra para comprimir toda sua matéria e alcançar a densidade da letra a…

Mas antes de tudo nós precisamos saber qual a massa dela, e como acharemos?

Bom, foi dado pra gente que:

d T e r r a = 5,5   g . c m - 3

E que o raio da terra é:

r T e r r a = 6,4 × 10 ³   k m

Passando para centímetros temos:

r T e r r a = 6,4 × 10 ³   k m × 100000   c m 1   k m

r T e r r a = = 6,4 × 10 8   c m

Agora podemos calcular o volume:

V T e r r a = 4 3   .   π   .   6,4 × 10 8   c m 3

V T e r r a = 1,098 × 10 27 c m ³

Show de bola! Temos tudo que precisamos para achar a massa total da Terra:

d T e r r a = m T e r r a V T e r r a

  m T e r r a = d T e r r a . V T e r r a

m T e r r a = 5,5   g . c m - 3 . 1,098 × 10 27 c m 3

m T e r r a = 6,039 × 10 27 g

Passo 3

Agora que já temos a massa da terra, podemos fazer o que o exercício pediu e substituir a densidade do átomo… E assim vamos achar o novo volume:

V T e r r a = m T e r r a d á t o m o

V T e r r a = 6,039 × 10 27 g 1,42 × 10 21 g c m 3

V T e r r a = 4,25 × 10 6   c m ³

Mas não queremos o volume, né? Queremos na verdade o raio… Só que como eles estão relacionados, podemos fazer o seguinte:

V T e r r a = 4 3   .   π   .   r t e r r a 3

Isolando o raio, temos:

r T e r r a = 3   .   V T e r r a 4   .   π 3

Agora sim! Vamos achar o raio:

r T e r r a = 3 × 4,25 × 10 6   c m ³ 4   .   π 3

r T e r r a = 100,5   c m

Sendo assim, se nós pudéssemos comprimir a Terra até a densidade de um átomo de carbono, mantendo sua massa, ela teria um raio de apenas:

r T e r r a = 100,5   c m

Interessante, né?

Conseguimos! Show de bola!

Resposta

  1. d á t o m o = 1,42 × 10 21 g c m 3 ;

  2. r T e r r a = 100,5   c m .
Ver Outros Exercícios desse livro