Modelos elétricos

Para modelar circuitos elétricos devemos utilizar sempre a lei das malhas ou a lei dos nós. Como nesse caso não temos nenhuma malha fechada, vamos usar a lei dos nós.

A lei dos nós diz que a soma de todas as correntes chegando em nó é igual à soma de todas as correntes saindo desse nó.

Vamos desenhar isso:

Logo:

Obs: a direção das setas é arbitrado.

Para calcular a corrente devemos ver de onde ela está vindo. A corrente vem de um resistor, e para um resistor temos que:

Esse é a diferença de tensão, sendo assim:

A corrente vem de um capacitor. Para o capacitor temos que:

Como antes do capacitor não temos nenhuma tensão:

Sendo assim, nossa EDO ficará:

Agora que já temos a nossa EDO, só precisamos aplicar Laplace e depois reorganizar para conseguir a função de transferência.

Aplicando Laplace em :

Reorganizando:

Por fim:

Ou:

Como não temos uma malha clara nesse circuito, fica mais fácil encontrar a função de transferência pela lei dos nós.

A lei dos nós diz que a soma das correntes que chega em um nó é igual a .

Vamos considerara o nó de cima para fazer as contas. Sendo assim:

Logo:

Obs: a direção das setas é arbitrado.

A corrente vem de uma “linha” onde existe um capacitor. Sendo assim:

Sendo assim, para o nosso circuito

A corrente vem de um resistor. Para o capacitor temos que:

Antes do resistor não existe nenhum componente, portanto, não existe tensão:

Sendo assim, nossa EDO ficará:

O próximo passo depois que a gente obtem a EDO para conseguir a função de transferência é a aplicação da transformada de Laplace.

Aplicando Laplace em :

Reorganizando:

Por fim:

Ou:

Obs: se você ainda tem dúvida em transformada de Laplace, seria legal dar uma revisada nesse tópico porque ele é muito importante para nós em controle de processo.

Vamos resolver esse circuito pela regra dos nós. O nó destacado abaixo é o que está na posição mais estratégica da malha, então, vamos usá-lo como referância

Logo:

Obs: a direção das setas é arbitrado.

Para a corrente , temos um capacitor e um indutor em paralelo. Logo a corrente é a soma das correntes que passam no insutor e no capacitor:

A corrente é proveniente de um ramo que contém um resistor e está aterrada, logo:

Juntando tudo:

Agora que já temos nossa EDO, basta aplicar Laplace:

Rearranjando:

Simplificando:

Vamos resolver esse circuito pela regra dos nós. Como temos apenas um nó no circuito, a gente já sabe em qual aplicar a regra.

Logo:

Obs: a direção das setas é arbitrado.

Precisaremos, então, encontrar as corrente e para aplicar a regra dos nós. Entretanto, a corrente passa por um capacitor e um indutor. Para encontrar essa corrente em função de e , precisaremos determinar um ponto intermediário:

Vamos então definir duas expressões para . Como a corrente que passa pelo capacitor e indutor é a mesma, podemos escrever uma expressão para cada elemento:

Precisamos isolar em uma das expressões e substituir na outra, entretanto, por se tratar de equações diferenciais, essa manipulação vai ficar mais fácil se aplicarmos Laplace:

Vamos isolar em :

Substituindo em :

Isolando :

Ufa, finalmemte conseguimos uma expressão para que relaciona e

A expressão para é mais fácil de obter:

Esse zdro aí em cima é devido ao fato do ramo de onde “vem” a estar aterrado, logo, a tensão é .

Aplicando Laplace:

Por fim, somando-se as duas corresntes:

Rearranjando:

Simplificando:

Vamos usar a lei das malhas para resolver esse. A lei das malhas diz que a soma das tensões em uma determinada malha é igual a .

Temos aqui um circuito com duas malhas, vamos desenhar para conseguir ver melhor:

Vamos escrever uma equação para cada malha usando a lei das malhas, para isso, devemos escrever a tensão em todos os elementos de cada malha.Vamos usar essa tabela para nos auxiiar:

Para a primeira malha:

Substituindo os valores dados:

Para a segunda malha:

O próximo passo é aplicar Laplace, para que possamos manipular nossas equações mais facilmente.

Aplicando Laplace em e :

Vamos agora isolar em :

Substituindo em :

Entretanto, o exercício pede que a gente calcule , que é a relação entre a tensão no resistor e a tensão de entrada do circuito.

A tensão no resistor pode ser calculada como:

Aplicando Laplace:

Substituindo em :

Por fim:

Vamos resolver esse exercício aplicando a lei das malhas para o circuito, sendo assim, a soma de todas as tensões dentro de uma malha deve ser igual a .

Vamos considerar as duas malhas internas do circuito representadas abaixo pelas correntes e .

Devemos escrever então duas equações, uma pra cada malha. Devemos somar todas as tensões presentes em cada malha. Para isso, usaremos as fómulas da tabela:

Para a primeira malha:

Para a segunda malha:

Como trabalhar com um sistema de EDO’s é uma coisa muito complicada e nada prática, vamos aplicar Laplace para facilitar nossas manipulações.

Aplicando Laplace em :

Agora em :

Isolando

Substituindo em :

Entretanto, o exercício pede a relação entre a tenção no indutor e a tensão de entrada do circuito.

A tensão no indutor pode ser calculada como:

Aplicando Laplace:

Logo:

Substituindo em :

Por fim:

Vamos resolver esse problema usando a lei das malhas. A lei das malhas diz que a soma das tensões em uma determinada malha é igual a .

Temos aqui um circuito com duas malhas, vamos desenhar para conseguir ver melhor:

Agora, devemos escrever a equação para cada uma das malhas. Para isso, percorremos todo o “círculo” e escrevemos todas as tensões que encontramos. Para a primeira malha:

Para a segunda malha:

Simplificando:

Para facilitar nossas manipulações algébricas, vamos aplicar Laplace de uma vez porque depois disso, tudo fica mais fácil.

Aplicando Laplace em e :

Vamos agora isolar em :

Substituindo em :

Entretanto, o exercício pede a relação entre a tenção no indutor e a tensão de entrada do circuito.

A tensão no indutor pode ser calculada como:

Aplicando Laplace:

Logo:

Substituindo em :

Por fim:

Vamos resolver esse exercício aplicando a lei das malhas para o circuito, sendo assim, a soma de todas as tensões dentro de uma malha deve ser igual a .

Vamos considerar as duas malhas internas do circuito representadas abaixo pelas correntes e .

Devemos escrever então duas equações, uma pra cada malha. Devemos somar todas as tensões presentes em cada malha. Para isso, usaremos as fómulas da tabela:

Para a primeira malha:

Para a segunda malha: