Modelos fluídicos
Produzido por Alexandre NunesTeoria
Introdução
E aí pessoal, tudo certinho?
Continuando nossa jornada pelo caminho da modelagem de processos, vamos agora dar uma olhadinha nos processos onde nosso principal objetivo será fazer o controle de um fluido em um sistema. Como por exemplo o tanque de nível abaixo:
Nesse sistema, temos uma corrente de entrada e uma corrente de saída e precisamos controlar o nível do fluido no tanque, o nosso . Para isso, utilizamos a válvula na corrente de saída para controlar a quantidade de fluido que sai do nosso tanque. A dinâmica da válvula geralmente é um dado do problema, para o nosso exemplo vamos assumir a seguinte expressão para a vazão que passa pela válvula:
Onde é a resistência da válvula à passagem de fluido. Para esse sistema consideraremos uma densidade constante do fluido e que o tanque tem uma área de base .
Agora precisamos ver como as correntes de entrada e de saída estão relacionadas com a altura do tanque. Bora lá?
Balanço de Massa
Para determinar essa relação, a primeira coisa que devemos fazer é o nosso balanço de massa. Você não lembra como faz balanço de massa? Pega na minha mão e vem comigo.
A expressão geral do balanço de massa é a seguinte:
Opa, a gente tem alguma reação no nosso sistema? Não, né? Isso é ótimo, porque assim poderemos cortar os dois últimos termos do balanço de massa, que vai ficar com a seguinte cara então:
Vamos analisar cada um desses termos agora. Acúmulo quer dizer o tanto que a massa do sistema varia com relação ao tempo, em termos de derivada ficaria assim:
Para deixar tudo em termos de volume:
Então:
Já a quantidade que entra, é determinada pelo , que é a vazão de entrada:
Novamente fazendo a substituição:
Da mesma forma, a corrente de saída é:
O nosso balanço de massa então ficou da seguinte forma:
Para o nosso sistema, nós consideraremos constante, e sendo assim podemos cancelar ele em todos os termos.
Mas pera aí. Eu disse lá no começo que o nosso objetivo é controlar a altura do tanque , lembra? E ela não está aparecendo em nenhum lugar da nossa equação do balanço de massa. Então precisamos achar alguma forma de inserir a altura na nossa expressão.
O volume de fluido no tanque é a base vezes a altura de fluido, e como a área da base é constante:
Além disso, a vazão de fluido que passa pela válvula também é determinada pela altura do tanque, então:
Finalmente, chegamos à expressão final do nosso balanço de massa:
Linearização
Lindo! Incrível! Maravilhoso! Fizemos nosso balanço de massa com maestria, conseguimos chegar numa EDO que relaciona a altura do tanque, , com a vazão de entrada do tanque, . Mas agora temos um novo problema. A EDO que nós encontramos não é linear. Isso acontece devido ao termo . Portanto, precisamos fazer nossa linearização. Partiu?
Para fazer essa linearização a gente sempre vai usar a linearização de Taylor conforme essa expressão aqui:
E a nossa expressão que precisa ser linearizada é:
Na maioria dos nossos problemas em controle de processos, será interessante para nós fazer a nossa linearização em torno do ponto inicial, isso vai facilitar os nossos cálculos e permitir um controle mais eficaz. Sendo assim, aqui nesse caso o será que é a altura do nível do tanque no instante inicial.
Então, para determinar o primeiro termo da linearização é só substituir o por :
Agora, devemos derivar nossa expressão no ponto escolhido, ou seja, :
E por fim, porém não menos importante:
Agora é só juntar tudo e ser feliz:
Variáveis desvio
Agora a gente já está quase lá. Você já pode ver a luzinha no fim do túnel do sucesso, mas ainda tem mais um passo para que o seu modelo do nível do tanque fique tão perfeito quanto você, que é a introdução das variáveis desvio. Mas antes, vamos dar uma olhadinha como está nossa expressão depois da linearização:
Tá grande, né? Meio esquisita. Vamos então reescrever a mesma expressão, mas agora com todas as variáveis em seu ponto inicial:
Repare que o último termo sumiu porque .
Então agora, para que a gente consiga introduzir as nossas variáveis desvio, precisamos fazer a diferença entre essas duas equações. Vai ficar assim ó:
Agora é a hora do truquezinho maroto. Vamos substituir essas diferenças que estão atrapalhando a gente por novas variáveis, as variáveis desvio:
E agora pode comemorar, soltar fogos, pular, abraçar a mãe que chegamos ao fim da nossa modelagem:
O passo a passo para introduzir variáveis desvio fica assim então:
- Escrever a sua equação normal;
- Reescrever a equação substituindo todas as funções que dependem do tempo pelo seu valor no tempo inicial;
- Subtrair a segunda equação da primeira;
- Definir as variáveis desvio;
- Fazer a substituição.
Partiu ver outros casos nos exercícios?