Casos especiais - Lugar geométrico das raízes

Vamos começar representando tanto os zeros como os polos da função de transferência em malha aberta no diagrama de lugar das raízes.

Para essa função de transferência temos dois zeros em e e dois polos em .

Neste caso o número de zeros finitos é igual ao número de polos infinitos, ou seja, não teremos zeros no infinito, e se não temos zeros no infinito, não precisamos calcular as assíntotas.

Além disso, como os polos estão exatamente no meio dos dois zeros, o lugar onde o rmo vai entrar no eixo dos reais é a metade do caminho entre e , ou seja, .

Desenhando os ramos:

Nosso diagrama está obedecendo a todas as regras:

• Os ramos nascem nos polos e morrem nos zeros;
• O número de ramos é igual ao número de polos em malha aberta;
• Simetria em relação ao eixo dos reais existe;
• Só existe ramos sobre o eixo dos reais nos locais onde à esquerda existe um número ímpar de polos e zeros.

Portanto, nossa resposta está correta.

Nessa função de transferência temos dois polos complexos e dois zeros, também complexos. Tanto os polos como os zeros são complexos puros, sendo os polos e os zeros .

Vamos representa-los no diagrama de lugar das raízes:

Neste caso o número de polos em malha aberta é igual ao número de zeros em malha aberta, snedo assim, não precisaremos calcular as assíntotas, pois não teremos zeros no infinito.

Além disso, tanto os polos quanto os zeros se encontram sobre o eixo dos imaginários, e pelo arranjo que eles se encontram, podemos perceber que os ramos jamais cruzarão o eixo dos reais. Sendo assim, se seguirmos todas as regras, já podemos esboçar o diagram de lugar das raízes para essa função de transferência.

Vamos conferir se todas as regras foram atendidas:

• Os ramos nascem nos polos e morrem nos zeros;
• O número de ramos é igual ao número de polos em malha aberta;
• Simetria em relação ao eixo dos reais existe;
• Só existe ramos sobre o eixo dos reais nos locais onde à esquerda existe um número ímpar de polos e zeros (não vem ao caso porque não temos ramos sobre o eixo dos reais).

Portanto, nossa resposta está correta.

Para obter os posntos de entrada e saída, primeiramente devemos encontrar a expressão para , para em seguida poder maximizá-la/minimizá-la:

Isolando :

Agora só precisamo substituir por e derivar a expressão encontrada:

Para encontrar os pontos onde o lugar das raízes entra/sai do eixo real, precisamos maximizar/minizar a função , ou seja, encontrar os valores de que anulam a sua derivada.

Sendo assim:

Primeiramente, vamos representar os polos e zeros no diagrama de lugar das raízes.

A função de transferência tem dois zeros: e , e dois polos: e .

Agora vamos fazer nosso nosso esboço.

Devemos nos lembrar que os ramos nascem nos polos e morrem nos zeros, e que a simetria com relação ao eixo dos reais deve ser obedecida.

Além disso, os ramos só podem existir sobre os eixos dos reais se a esquerda dele houver um número ímpar de polos e zeros.

Como os polos se enontram exatamente no meio do caminho entre os dois zeros, podemos garantir que os ramos vão entrar no eixo dos reais exatamente no meio do intervalo entre os dois zeros.

Tendo tudo isso em mente, já podemos esboçar nosso diagrama:

Agora, precisamos encontrar qual valor de faz com que o sistema fique instável. Vamos analisar a equação característica do sistema:

Para que o sistema seja estável, todos os termos devem ter o mesmo sinal. Não existe nenhum valor de que faça ambos os termos ficarem negativos, então vamos avaliar os valores de que faça os termos ficarem positivos:

Como no lugar das raízes trabalhamos com valores de que vão de até , podemos dizer que o sistema é instável para:

Temos então um diagrama de lugar das raízes de uma função de transferência em malha aberta com dois polos e dois zeros, sendo os zeros e , e os polos, .

Vamos então escrever a função de transferência para esse diagrama:

Nessa função temos dois polos e dois zeros, o que quer dizer que não teremos nenhum zero no infinito, então, não precisamos calcular as assíntotas.

Entretanto existem outras duas coisas que precisamos saber para fazer um bom esboço do diagarama de lugar das raízes: em que ponto o diagrama entre no eixo dos reais e com qual ângulo os ramos saem dos polos.

Se pensarmos um pouco sobre as regras que dizem que os ramos saem dos polos e morrem nos zeros, e que o diagrama é simétrico em relação ao eixo dos reais, poderemos imaginar que os ramos vão sair do polo e entrar no eixo dos reais em algum ponto entre os dois zeros, mas não sabemos com que ângulo essa saída se dá nem em que ponto eles entram no eixo dos reais.

Vamos começar pelo ponto de entrada.

Para isso, devemos maximizar\minimizar na expressão:

Isolando :

Substituindo por , e derivando em relação a , teremos:

Os valores de que satisfazem essa igualdade são e . Como o ponto de entrada está entre os dois zeros, o valor que nos satisfaz é .

Agora devemos encontrar o ângulo com que os ramos saem dos polos, para isso precisamos fazer a soma de todos os ângulos, o resultado deve ser um múltiplo ímpar de .

Para achar basta somar tudo e encontrar um ângulo cuja a soma seja um múltiplo ímpra de . Lembre-se sempre que os polos contribuem positivamente e os zeros negativamente:

Agora já podemos fazer nosso esboço:

Primeiramente, vamos marcar no nosso diagrama todos os zeros e polos:

Temos um polo a mais que zero, o que significa que precisamos calcular uma assíntota que indique onde se encontra o zero no infinito.

Termos então uma assíntota com ângulo de que se encontrará sobre o eixo dos reais. Sendo assim, não precisamos calcular o ponto de interseção dessa assíntota sobre o eixo.

Vamos agora calcular o ponto em que o lugar das raízes deixa o eixo dos reais. Para isso precisamos maximizar na expressão:

Substituindo por , e derivando em relação a :

Existem dois valores para que satisfazem a igualdade: e , entretanto, não pode existir lugar das raízes em pois à esquerda desse ponto existem dois polos, e a condição para que exista lugar das raízes sobre o eixo real é que à esquerda deve existir sempre um número ímpar de zeros e polos.

Portanto, o lugar das raízes sairá do eixo dos reais em e para fins de esboço e práticos, vamos aproximar esse valor para .

Agora devemos encontrar o ângulo com que os ramos saem dos polos, para isso precisamos fazer a soma de todos os ângulos, o resultado deve ser um múltiplo ímpar de .

Para achar basta somar tudo e encontrar um ângulo cuja a soma seja um múltiplo ímpra de . Lembre-se sempre que os polos contribuem positivamente e os zeros negativamente:

Agora já podemos fazer nosso esboço:

Os ramos que saem dos polos e saem do eixo dos reais em e morrem nos dois zeros finitos fazendo um ângulo de e .

Além disso, o ramo que nasce no em tende a infinito conforme a assíntota que calaculamos.

Trata-se de um sistema com realimentação positiva, isso quer dizer que todas as regras que usamos até aqui são válidas com exceção de duas: o lugar das raízes existe no eixo dos reais se à sua esquerda existir uma quantidade par de polos e zeros, e a soma de todos os ângulos em qualquer ponto do lugar das raízes é um múltiplo par de .

Vamos começar, como sempre, representando os nossos polos e zeros no diagrama. Ness exercício temos dois polos: e .

Nesse caso, temos dois polos a mais que zeros, o que significa que vamos ter dois zeros no infinito, e que precisaremos de duas assíntotas para nos mostrar onde esses zeros no infinito se encontram. Como é um sistema de realimentação positiva, a fórmula do ângulo da assíntota é um pouquinho diferente:

Repare que se , o ângulo é igual a , se , o ângulo será , e se r continuar aumentando, esses dois ângulos vão se repetir.

Sendo assim, teremos duas assíntotas sobre o eixo dos reais, cada uma apontando para uma direção.

Como as assíntotas estão sobre o eixo dos reais, não faz sentido calcular o ponto de interseção delas com essse eixo, concorda?

Agora, já temos tudo que precisamos e podemos fazer nosso esboço, olha só:

Como é um sistema de realimentação positiva, o lugar das raízes só existe se a sua esquerda houver um número par de polos e zeros. Por isso, não existe lugar das raízes entre os dois polos, uma vez que nesse intervalo só existe um polo à esquerda.

Como as assíntota indicam e , um dos ramos tede a sobre o eixo dos reais e o outro ramo tende a , também sobre o eixo dos reais.

Repare também que esse sistema é instável independente do valor de , já que não existe nenhum valor de que deixe as duas raízes negativas.

Trata-se de um sistema com realimentação positiva. Isso quer dizer que todas as regras que usamos até aqui são válidas com exceção de duas: o lugar das raízes existe no eixo dos reais se à sua esquerda existir uma quantidade par de polos e zeros, e a soma de todos os ângulos em qualquer ponto do lugar das raízes é um múltiplo par de .

Vamos começar, como sempre, representando os nossos polos e zeros no diagrama. Nesse exercício temos dois polos: e .

Nesse caso, temos três polos a mais que zeros, o que significa que vamos ter três zeros no infinito, e que precisaremos de duas assíntotas para nos mostrar onde esses zeros no infinito se encontram. Como é um sistema de realimentação positiva, a fórmula do ângulo da assíntota é um pouquinho diferente:

Repare que se , o ângulo é igual a , se , o ângulo será , se , o ângulo será e se r continuar aumentando, esses ângulos vão se repetir.

Sendo assim, teremos duas assíntotas sobre o eixo dos reais, cada uma apontando para uma direção.

Agora, vamos calular onde essas assíntotas interceptam o eixo dos reais para podermos representa-las:

Vamos representar as assíntoas agora:

Uma assíntota tem inclinação , outra , e uma terceira tem inclinação e está sobre o eixo dos reais. Além disso essas assíntotas interceptam o eixo dos reais em .

Agora, já temos tudo que precisamos e podemos fazer nosso esboço, olha só:

Como é um sistema de realimentação positiva, o lugar das raízes só existe se à sua direita houver um número par de polos e zeros. Além disso todas as outras regras foram satisfeitas: o número de ramos é igual ao número de polos, cada ramo nasce em um polo e morre em um zero e a simetria em relação ao eixo dos reais foi respeitada.

Nesse problema, a gente tinha três polos a mais que zero, e por isso três ramos tenderam aos zeros no infinito que são determinados pelas assíntotas.