Compensadores de avanço-atraso de fase

Bom, vamos analisar todas as informaçãoe que nós temos aqui. O nosso compensador está com o zero em e o polo em . O enunciado não fala explicitamente o ganho, então podemos afirmar apenas que a função de transferência desse compensador é:

Nesse compensador, o zero é menor, em módulo, que o polo, o que é uma estrutura característica de um compensador de avanço de fase.

Os compensadores de avanços de fase tem esse nome justamente porque o fato do módulo do numerador ser menor que o do denominador faz com que o ângulo de fase do compensador seja sempre positivo. Caso o contrário acontecesse, o ângulo de fase seria sempre negativo.

Isso pode ser melhor visto na imagem abaixo:

O ângulo de fase resultante é igual à soma dos ângulos de fase dos polos e zeros, sendo que os polos contribuem com valor negativo e os zeros com valor negativo, ou seja, o ângulo de fase resultante será:

Como é maior que o ângulo de fase resultante sempre será positivo (avanço).

Portanto, a resposta que mais se adequa é:

b) avanço de fase, porque, para valores positivos de frequência, o ângulo de fase do compensador será sempre positivo

Vamos analisar cada uma das opções separadamente.

A primeira diz que os compensadores de avanço de fase são usado para diminuir o sobressinal (overshoot).

Apesar de os compensadores de avanço poderem ser usados para esse objetivo, não é sempre que isso acontece. Na verdade, o compensador de avanço serve para você escolher o overshoot qur você quer, e isso pode significar uma diminuição ou um aumento.

Portanto, esta alternativa está incorreta.

A segunda alternativa diz que o compensador de avanço atua na compensação em altas frequências.

Essa alternativa também está incorreta, na verdade, o compensador de avanço de fase em altas frequências fica vulnerável a ruídos de alta frequência, o que não é nada bom.

A terceira alternativa diz que o compensador de atraso de fase é usado quando se deseja diminuir o erro em regime permanente de um sistema.

Essa alternativa está correta uma vez que o principal motivo de se usar o compensador de atraso de fase é justamente a diminuição desse erro em regime permanente, também conhecido como offset.

Essa é quase uma ofensa, ela diz que o LGR (lugar geométrico das raízes) não pode ser usado para projetar um compensador.

Bom, basicamente o que a gente mais fez até aqui foi usar o LGR para projetar compensador, então essa resposta está claramente errada.

Para terminar, a última alternativa diz que no compensador de avanço o valor do zero é maior que o do polo.

Ess afirmativa está incorreta porque o que acontece é justamente o contrário. Para um compensandor ser considerado de avanço, o valor do zero deve ser menor que o do polo.

Primeiramente, vamos representar todos os polos e zero no diagrama de lugar das raízes.

Como o compensador tem um zero em e também existe um polo nesse mesmo ponto, podemos fazer um cancelamente polo/zero.

Vamos agora, calcular as distâncias desses polos e zeros até o polo dominante:

Usando o Teorema de Pitágoras:

O ganho poderá ser calculado da seguinte maneira:

O ficou no numerador pois é o único zero que estamos avaliando.

é o ganho da função de transferência em malha aberta, nesse caso, e é o ganho do compensador que desejamos encontrar:

Só existe uma diferença entre os dois sistema que é a parte do atraso do compensador de avanço/atraso. O atraso é justamente o responsável por diminuir o erro em regime permanente.

Para saber qual dos dois será mais efetivo em diminuir o erro, devemos olhar a razão entre o zero e o polo. Quanto maior for essa razão, menor será o erro em regime permanente.

Para o primeiro caso temos:

E para o segundo:

Dessa forma, o sistema terá erro em regime permanente muito menor que o sistema .

Para que a parte do atraso do compensador de avanço e atraso interfira o mínimo possível na resposta transitória (overshoot e tempo de assentamento) a distância do polo e do zero deve ser a menor possível.

Podemos reparar que no primeiro caso o zero está mais próximo do polo do que no segundo caso, por isso esse par polo/zero terá poquíssimo efeito sobre a resposta transitória.

Sendo assim, o compensador reduz o erro com uma efetividade muito melhor que o compensador mas ele afeta a resposta transitória mais significantemente também.

Entretanto, podemos perceber que a diferença entre a distância do par polo/zero do atraso desses compensadores não é tão grande.

Sendo assim o compensador é muito melhor em corrigir o erro enquanto o compensador é ligeiramente melhor quanto à interferência na resposta transitória. Portanto, o compensador é a melhor opção.

Vamos começar projetando a parte de avanço do nosso compensador. Vamos fazer isso da mesma forma que fazíamos quando estavámos projentando um compensador de avanço de fase simples. Bora lá!

Primeiramente, precisaremos determinar os polos dominantes em malha fechada do sistema compensado, ou seja, os polos dominantes que produzirão o overshoot e o tempo de acomodação desejados.

O polo dominante poderá ser encontrado através da expressão:

Para encontrar e usaremos as especificações do projeto.

O fator de amortecimento pode ser encontrado diretamente da fórmula do overshoot:

Como queremos um overshoot de :

Para encontrar devemos usar a fórmula do tempo de sedimentação para uma faixa de :

Como

Portanto, o polo dominante será:

Vamos então representar no diagrama de lugar das raízes os dois polos dominantes e também os polos e zeros da nossa função de transferência em malha aberta. Nesse caso, a função só tem polos e ficaremos com a seguinte representação:

Vamos usar os “x” vermelho para representar os polos do compensador e o ponto preto é o polo dominante que nós encontramos, mas eu representei no diagrama só um dos dois polos porque para fazer o projeto é necessário apenas um.

Quando estamos projetando m compensador de avanço podemos arbitrar a posição do zero e fazer com que o polo obedeça essa posição encontada.

E já que podemos escolher qualquer posição para o zero, a gente que não é bobo nem nada vai escolher uma posição que beneficia a gente. Se colocarmos o zero do compensador na mesma posição que um do polos. O zero vai cancelar o polo e então teremos menos pontos para trabalhar no projeto. Sendo assim, vamos assumir:

Agora que arbitramos a posição do zero, vamos encontrar o zero através da regra dos ângulos:

Não temos mais o polo em pq ele foi cortado com o zero do compensador. O polo do compensador que precisamos determinar, está representado pelo . Para saber onde ele está, usaremos a regra dos ângulos

Ou seja, a soma de todos os ângulos deve ser um múltiplo ímpar de .

Para calcular os ângulos, usaremos propriedades trigonométricas:

Sendo assim:

E com o ângulo , conseguimos determinar a posição de :

Portanto o polo da parte de avanço do compensador está em .

Sendo assim já determinamos o polo e o zero da parte de avanço, e ainda falta determinar o ganho, o polo e o zero do compensador.

Antes de partir para a parte do atraso, vamos calcular o ganho do compensador. Para isso, usaremos o critério do módulo:

Vamos calcular as distâncias , e :

Sendo assim, o ganho será:

Sendo o ganho da função de transferência em malha aberta, nesse caso, e o ganho do compensador que desejamos encontrar:

Portanto, estamos assim com o nosso projeto:

Só falta então encontrar o polo e zero do atraso.

Para implementar o compensador de atraso, precisamos encontrar a relação entre o zero e o polo que falta determinar. Para isso usaremos a especificação do erro em regime permanente.

Para uma entrada degrau unitário, teremos a seguinte expressão para o erro:

Como queremos que o erro seja igual a teremos:

Com isso, conseguimos obter:

Ou seja, o zero dever ser maior que o polo por um fator de 3,4vezes para que o erro em regime estacionário do sistema compensado seja igual a .

Sabemos que o polo e o zero do compensador de atraso devem ser o menor possível para não impactar na resposta transiente. Portanto, um bom valor para esse par seria:

Portanto, teremos:

Se quiséssemos ser muito precisos, poderíamos calcular novamente o ganho usando o critério do módulo. Entretanto a inclusão do novo polo e do novo zero quase não alterariam o ganho encontrado anteriormente uma vez que eles têm o módulo praticamente iguais por estarem muito próximos um do outro, e portanto, se anulariam. Sendo assim, para nós o projeto já está satisfatório.

Vamos começar o fazendo o projeto da parte de avanço do nosso compensardor.

Para isso, precisamos primeiramente determinar os polos dominantes em malha fechada do sistema compensado, ou seja, os polos dominantes que produzirão o overshoot e o tempo de acomodação desejados.

O polo dominante poderá ser encontrado através da expressão:

O fator de amortecimento pode ser encontrado diretamente da fórmula do overshoot:

Como queremos um overshoot de :

Para encontrar devemos usar a fórmula do tempo de sedimentação para uma faixa de :

Como

Portanto, o polo dominante será:

Vamos representar no nosso diagrama agora como estamos até aqui. Vamos colocar os polos dominantes da resposta compensada e também os polos da função de transferência do processo.

Os “x” vermelhos são os polos em malha aberta da função de transferência, e os pontos pretos são os polos dominantes.

Vamos então começar a implementar o nosso avanço. Para isso precisamos arbitrar um valor para o zero e depois encontrar o valor para o polo.

Para facilitar o nosso lado, podemos estimar o valor do zero do compensador como sendo , porque aí o zero do compensador vai cortar com o polo do processo e aí diminui o número de cálculos que precisamos fazer. Portanto:

Sendo o zero do compensador de avanço. Para determinar o polo da parte de avanço, precisamos usar a regra dos ângulos aqui:

Repare que o polo em sumiu porque ele foi cortado com o zero do compensador. Além disso, adicionamos um polo em que é o polo do compensador que precisamos determinar através da regra:

Ou seja, a soma de todos os ângulos deve ser um múltiplo ímpar de .

Para calcular os ângulos, usaremos propriedades trigonométricas:

Sendo assim:

E por fim, conseguimos encontrar a posição de :

Portanto o polo da parte de avanço do compensador está em e até agora já estamos assim com a noss função de transferência:

Antes de partir para a parte do atraso, vamos calcular o ganho do compensador. Para isso, usaremos o critério do módulo:

Devemos então calular as distâncias dos polos ao polos dominante e aplicar o critério:

Sendo assim, o ganho será:

Portanto, estamos assim com o nosso projeto:

Só falta então encontrar o polo e zero do atraso.

Para implementar o compensador de atraso, precisamos encontrar a relação entre o zero e o polo que falta determinar.

Para uma entrada rampa, teremos a seguinte expressão para o erro:

Como queremos que o erro seja reduzido em 10 vezes, podemos fazer a razão do erro sem compensação e com compensação:

Ou,

Substituindo o que temos:

Teremos que:

Ou seja, o zero dever ser maior que o polo por um fator de vezes.

Sabemos que o polo e o zero do compensador de atraso devem ser o menor possível para não impactar na resposta transiente. Portanto, um bom valor para esse par seria:

Portanto, teremis:

Se quiséssemos ser muito precisos, poderíamos calcular novamente o ganho usando o critério do módulo. Entretanto a inclusão do novo polo e do novo zero quase não alterariam o ganho encontrado anteriormente uma vez que eles têm o módulo praticamente iguais por estarem muito próximos um do outro, e portanto, se anulariam. Sendo assim, para nós o projeto já está satisfatório.

Vamos começar com as especificações da resposta transitória que vão nos dar as informações que precisamos para determinar o polo e zero da parte de avanço do compensador.

Para isso, precisamos primeiramente determinar os polos dominantes em malha fechada do sistema compensado, ou seja, os polos dominantes que produzirão o overshoot e o tempo de acomodação desejados.

O polo dominante poderá ser encontrado através da expressão:

O fator de amortecimento pode ser encontrado diretamente da fórmula do overshoot:

Como queremos um overshoot de :

Para encontrar devemos usar a fórmula do tempo de sedimentação para uma faixa de :

Como

Portanto, o polo dominante será:

Vamos representar no nosso diagrama agora como estamos até aqui. Vamos colocar os polos dominantes da resposta compensada e também os polos da função de transferência do processo.

Os “x” vermelhos são os polos em malha aberta da função de transferência, e o ponto preto é um dos polos dominantes que vamos usar no nosso projeto.

Vamos então começar a implementar o nosso avanço. Para isso precisamos arbitrar um valor para o zero e depois encontrar o valor para o polo.

Para diminuir o número de contas, podemos colocar o zero do compensador “em cima” de um dos polos em malha fechada para que o zero cancele esse polo. Sendo assim:

Sendo o zero do compensador de avanço. Para determinar o polo da parte de avanço, precisamos usar a regra dos ângulos aqui:

Não temos mais o polo em pq ele foi cortado com o zero do compensador. O polo do compensador que precisamos determinar, está representado pelo . Para saber onde ele está, usaremos a regra dos ângulos

Ou seja, a soma de todos os ângulos deve ser um múltiplo ímpar de .

Para calcular os ângulos, usaremos propriedades trigonométricas:

Sendo assim:

E com o ângulo , conseguimos determinar a posição de :

Portanto o polo da parte de avanço do compensador está em .

Sendo assim já determinamos o polo e o zero da parte de avanço, e ainda falta determinar o ganho, o polo e o zero do compensador.

Antes de partir para a parte do atraso, vamos calcular o ganho do compensador. Para isso, usaremos o critério do módulo:

Vamos calcular as distâncias , e :

Sendo assim, o ganho será:

Portanto, estamos assim com o nosso projeto:

Só falta então encontrar o polo e zero do atraso.

Para implementar o compensador de atraso, precisamos encontrar a relação entre o zero e o polo que falta determinar.

Para uma entrada rampa, teremos a seguinte expressão para o erro:

Como queremos que o erro seja reduzido em 20 vezes, podemos fazer a razão do erro sem compensação e com compensação:

Ou,

Substituindo o que temos:

Teremos que:

Ou seja, o zero dever ser maior que o polo por um fator de vezes para que o erro em regime estacionário do sistema compensado seja 20 vezes menor que o do sistema não compensado.

Sabemos que o polo e o zero do compensador de atraso devem ser o menor possível para não impactar na resposta transiente. Portanto, um bom valor para esse par seria:

Portanto, teremos:

Dessa vez, como o zero do compensador foi muito maior que o polo, vamos recalcular o nosso ganho para garantir que não houve um desvio muito grande. Sendo assim, vamos aplicar novamente o critério do módulo mas dessa vez considerando o polo e o zero novos.

Como já temos , e , vamos calcular e :

Sendo assim, o ganho será:

Que é já é uma diferença considerável dos que a gente tinha encontrado antes.

Finalmente, o nosso compensador será:

Vamos começar com as especificações da resposta transitória que vão nos dar as informações que precisamos para determinar o polo e zero da parte de avanço do compensador.

Para isso, precisamos primeiramente determinar os polos dominantes em malha fechada do sistema compensado, ou seja, os polos dominantes que produzirão o overshoot e o tempo de acomodação desejados.

O polo dominante poderá ser encontrado através da expressão:

O fator de amortecimento pode ser encontrado diretamente da fórmula do overshoot:

Como queremos um overshoot de :

Para encontrar devemos usar a fórmula do tempo de sedimentação para uma faixa de :

Como

Portanto, o polo dominante será:

Vamos representar no nosso diagrama agora como estamos até aqui. Vamos colocar os polos dominantes da resposta compensada e também os polos da função de transferência do processo.

Os “x” vermelhos são os polos em malha aberta da função de transferência, e o ponto preto é um dos polos dominantes que vamos usar no nosso projeto.

Vamos então começar a implementar o nosso avanço. Para isso precisamos arbitrar um valor para o zero e depois encontrar o valor para o polo.

Para diminuir o número de contas, podemos colocar o zero do compensador “em cima” de um dos polos em malha fechada para que o zero cancele esse polo. Sendo assim:

Sendo o zero da parte do avanço do compensador. Para determinar o polo da parte de avanço, precisamos usar a regra dos ângulos aqui:

Não temos mais o polo em pq ele foi cortado com o zero do compensador. O polo do compensador que precisamos determinar, está representado pelo . Para saber onde ele está, usaremos a regra dos ângulos

Ou seja, a soma de todos os ângulos deve ser um múltiplo ímpar de .

Para calcular os ângulos, usaremos propriedades trigonométricas:

Sendo assim:

E com o ângulo , conseguimos determinar a posição de :

Portanto o polo da parte de avanço do compensador está em .

Sendo assim já determinamos o polo e o zero da parte de avanço, e ainda falta determinar o ganho, o polo e o zero do compensador.

Antes de partir para a parte do atraso, vamos calcular o ganho do compensador. Para isso, usaremos o critério do módulo:

Usando o Teorema de Pitágoras, podemos calcular as distâncias , e :

Sendo assim, o ganho será:

Onde é o ganho da função de transferânecia em malha aberta que neste caso é .

Portanto, estamos assim com o nosso projeto:

Só falta então encontrar o polo e zero do atraso.

Para implementar o compensador de atraso, precisamos encontrar a relação entre o zero e o polo que falta determinar.

Para uma entrada rampa, teremos a seguinte expressão para o erro:

Como queremos que o erro em estado permanente seja devemso fazer com que a igualdade abaixo seja verdade:

Substituindo o que temos:

Teremos que:

Ou seja, o zero dever ser maior que o polo por um fator de vezes para que o erro em regime estacionário do sistema compensado seja 20 vezes menor que o do sistema não compensado.

Sabemos que o polo e o zero do compensador de atraso devem ser o menor possível para não impactar na resposta transiente. Portanto, um bom valor para esse par seria:

Portanto, teremos: