Controlador proporcional-derivativo e proporcional-integrativo-derivativo

Produzido por Alexandre Nunes
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Teoria

Controlador proporcional-derivativo (PD)

No último tópico vimos como as vezes a introdução de uma parcela integrativa na função de transferência pode ser muito bem-vinda quando queremos cancelar o erro em regime permanente.

Em alguns casos porém, o erro em regime permanente não vai ser o nosso maior problema. Em várias aplicações de controle de processos na vida real, a existência desse erro é tolerável, entretanto, existe um outro problema bastante comum que encontraremos que é a velocidade de resposta do processo.

Por vezes, precisaremos que o sistema responda de maneira bem rápida à ação do controlador. Nesses casos, nós iremos utilizar uma parcela derivativa na função de transferência do controlador.

m t = m - + K C e t + K C τ d d e t d t

Ou ainda, no domínio frequência:

M s E s = K C 1 + τ d s = G C ( s )

Como disse ali em cima, o principal efeito dessa ação derivativa no nosso controlador é acelerar a resposta do sistema a uma perturbação qualquer. Mas como será que isso acontece na prática?

A função principal da ação derivativa é antecipar como o sistema vai reagir e já corrigir essa antecipação, por isso que ele acelera o tempo de resposta. Por exemplo, se a variável controlada estiver se afastando para cima do setpoint a ação diferencial perceberá isso pois a derivada do erro será muito alta, então será tomada uma ação mais rigorosa.

Agora, caso a variável de processo esteja se aproximando do valor de referência lentamente, a derivada do erro será muito baixa, aí nesse caso a ação da parcela diferencial do controlador será praticamente nula.

Podemos então perceber que a ação derivativa é muito importante para corrigir desvios em variáveis que variam muito rapidamente, fazendo uma previsão do que acontecerá com o sistema e tomando as devidas medidas para evitar que essas variações continuem acontecendo

A figura acima mostra graficamente como a ação diferencial do controlador. Repare por exemplo que para 0 < t < t 1 a variável do processo, y ( t ) estava abaixo do valor final, entretanto d e t d t < 0 o que mostra que a ação diferencial estava reduzindo o sinal de saída do controlador pois antecipou que em pouco tempo a variável de processo ultrapassaria o valor desejado.

Controlador proporcional-derivativo modificado

Na vida real, entretanto, o controlador PD muito raramente é introduzido com a equação que vimos ali em cima. Na verdade, ele sofre uma pequena alteração:

G C s = K C 1 + τ d s 1 + α τ d s

O que acontece é que a parte derivativa da equação de transferência é multiplicada pelo termo 1 1 + α τ d s .

Esse termo é chamado de filtro, e ele tem a forma de um processo de primeira ordem com constante de tempo α τ d . Geralmente utiliza-se valores muito baixos de α (valores variam entre 0,05 e 0,2 dependendo do fabricante) de modo a deixar o processo mais lento e o polo criado bem afastado da origem.

O filtro é necessário pois a ação derivativa pura é extremamente sensível em altas frequências ( s muito grande) fazendo o ganho do sistema tender ao infinito. O termo do filtro, por ter um polo em alta frequência faz com que o sistema fique controlado nessa região.

Então combinaremos assim, quando estiver falando de controladores com ação derivativa, teremos duas funções de transferência característica. A do controlador PD ideal:

G C s = K C 1 + τ d s

E a do controlador PD real:

G C s = K C 1 + τ d s 1 + α τ d s

Controlador proporcional-integrativo-derivativo (PID)

Nós já vimos anteriormente que o controlador proporcional é o mais simples, barato e usado de todos os tipos de controladores. Vimos que quando precisamos remover o erro em regime permanente a nossa melhor opção é adicionar um termo integrativo ao nosso controlador. E que, quando precisarmos de um sistema mais rápido e mais estável, a adição de um controlador com um termo derivativo será a melhor pedida.

Os controladores PID, portanto, são os mais complexos, e robustos controladores encontrados no mercado. Eles reúnem a parte proporcional, integrativa e derivativa no mesmo controlador. Ou seja, ele será eficaz para praticamente todos os processos que podemos encontrar. Entretanto, alguns processos são muito simples e o uso de um PID não é justificado. Seria como usar um canhão para matar uma formiga hahaha.

A equação para o sinal de saída do controlador PID pode ser escrita como:

m t = m - + K C 1 + 1 τ i ∫ e t d t + τ d d e t d t

Se fizermos a transformada de Laplace para obter a função de transferência:

M s E s = K C 1 + 1 τ i s + τ d s = G C ( s )

O termo integrativo será então o responsável por cancelar o erro em regime permanente e é muito importante para garantir a precisão do sistema.

O termo derivativo está ligado à estabilidade e rapidez da resposta devido ao seu efeito antecipatório. Ele é muito importante visto que o efeito integrativo causa uma certa instabilidade no sistema e por isso, o efeito derivativo acaba se tornando mais importante ainda.

Mas fica de olho. Às vezes, a função de transferência pode vir escrita de uma forma diferente:

G C s = K C + K i s + K d s

Alguns livros e apostila de controle de processos adotam essa fórmula para descrever um PID. Ela é a mesma coisa da que eu escrevi anteriormente, porém as constantes estão representadas de forma diferente. Nessa nova convenção:

K i = K c τ i

K d = K C τ d

Além disso, como vimos na seção anterior, sempre que tivermos o efeito derivativo no nosso controlador, faremos uso do filtro para reduzir a instabilidade do sistema em altas frequências. Então, assim como o controlador PD tinha sua versão real e a ideal, o controlador PID também terá.

Controlador PID ideal:

G c s = 1 + 1 τ i s + τ d s

Controlador PID real:

G c s = 1 + 1 τ i s + τ d s α τ d s + 1

Representando o controlador PID no diagrama de blocos com cada ação representada separadamente, teremos algo do tipo:

Controlador proporcional-derivativo modificado

Controlador proporcional-integrativo-derivativo (PID)