Controlador proporcional-derivativo e proporcional-integrativo-derivativo
Produzido por Alexandre NunesTeoria
Controlador proporcional-derivativo (PD)
No último tópico vimos como as vezes a introdução de uma parcela integrativa na função de transferência pode ser muito bem-vinda quando queremos cancelar o erro em regime permanente.
Em alguns casos porém, o erro em regime permanente não vai ser o nosso maior problema. Em várias aplicações de controle de processos na vida real, a existência desse erro é tolerável, entretanto, existe um outro problema bastante comum que encontraremos que é a velocidade de resposta do processo.
Por vezes, precisaremos que o sistema responda de maneira bem rápida à ação do controlador. Nesses casos, nós iremos utilizar uma parcela derivativa na função de transferência do controlador.
Ou ainda, no domínio frequência:
Como disse ali em cima, o principal efeito dessa ação derivativa no nosso controlador é acelerar a resposta do sistema a uma perturbação qualquer. Mas como será que isso acontece na prática?
A função principal da ação derivativa é antecipar como o sistema vai reagir e já corrigir essa antecipação, por isso que ele acelera o tempo de resposta. Por exemplo, se a variável controlada estiver se afastando para cima do setpoint a ação diferencial perceberá isso pois a derivada do erro será muito alta, então será tomada uma ação mais rigorosa.
Agora, caso a variável de processo esteja se aproximando do valor de referência lentamente, a derivada do erro será muito baixa, aí nesse caso a ação da parcela diferencial do controlador será praticamente nula.
Podemos então perceber que a ação derivativa é muito importante para corrigir desvios em variáveis que variam muito rapidamente, fazendo uma previsão do que acontecerá com o sistema e tomando as devidas medidas para evitar que essas variações continuem acontecendo
A figura acima mostra graficamente como a ação diferencial do controlador. Repare por exemplo que para a variável do processo, estava abaixo do valor final, entretanto o que mostra que a ação diferencial estava reduzindo o sinal de saída do controlador pois antecipou que em pouco tempo a variável de processo ultrapassaria o valor desejado.
Controlador proporcional-derivativo modificado
Na vida real, entretanto, o controlador PD muito raramente é introduzido com a equação que vimos ali em cima. Na verdade, ele sofre uma pequena alteração:
O que acontece é que a parte derivativa da equação de transferência é multiplicada pelo termo .
Esse termo é chamado de filtro, e ele tem a forma de um processo de primeira ordem com constante de tempo . Geralmente utiliza-se valores muito baixos de (valores variam entre e dependendo do fabricante) de modo a deixar o processo mais lento e o polo criado bem afastado da origem.
O filtro é necessário pois a ação derivativa pura é extremamente sensível em altas frequências ( muito grande) fazendo o ganho do sistema tender ao infinito. O termo do filtro, por ter um polo em alta frequência faz com que o sistema fique controlado nessa região.
Então combinaremos assim, quando estiver falando de controladores com ação derivativa, teremos duas funções de transferência característica. A do controlador PD ideal:
E a do controlador PD real:
Controlador proporcional-integrativo-derivativo (PID)
Nós já vimos anteriormente que o controlador proporcional é o mais simples, barato e usado de todos os tipos de controladores. Vimos que quando precisamos remover o erro em regime permanente a nossa melhor opção é adicionar um termo integrativo ao nosso controlador. E que, quando precisarmos de um sistema mais rápido e mais estável, a adição de um controlador com um termo derivativo será a melhor pedida.
Os controladores PID, portanto, são os mais complexos, e robustos controladores encontrados no mercado. Eles reúnem a parte proporcional, integrativa e derivativa no mesmo controlador. Ou seja, ele será eficaz para praticamente todos os processos que podemos encontrar. Entretanto, alguns processos são muito simples e o uso de um PID não é justificado. Seria como usar um canhão para matar uma formiga hahaha.
A equação para o sinal de saída do controlador PID pode ser escrita como:
Se fizermos a transformada de Laplace para obter a função de transferência:
O termo integrativo será então o responsável por cancelar o erro em regime permanente e é muito importante para garantir a precisão do sistema.
O termo derivativo está ligado à estabilidade e rapidez da resposta devido ao seu efeito antecipatório. Ele é muito importante visto que o efeito integrativo causa uma certa instabilidade no sistema e por isso, o efeito derivativo acaba se tornando mais importante ainda.
Mas fica de olho. Às vezes, a função de transferência pode vir escrita de uma forma diferente:
Alguns livros e apostila de controle de processos adotam essa fórmula para descrever um PID. Ela é a mesma coisa da que eu escrevi anteriormente, porém as constantes estão representadas de forma diferente. Nessa nova convenção:
Além disso, como vimos na seção anterior, sempre que tivermos o efeito derivativo no nosso controlador, faremos uso do filtro para reduzir a instabilidade do sistema em altas frequências. Então, assim como o controlador PD tinha sua versão real e a ideal, o controlador PID também terá.
Controlador PID ideal:
Controlador PID real:
Representando o controlador PID no diagrama de blocos com cada ação representada separadamente, teremos algo do tipo: