Controlador proporcional-integrativo
Produzido por Alexandre NunesTeoria
Introdução
Até agora nós conhecemos um pouco dos dois modelos mais básicos de controladores: o controlador liga/desliga e o controlador proporcional.
Só para relembrar um pouco desses dois controladores, o controlador liga/desliga está sempre em seu modo máximo ou em seu modo mínimo. Quando a variável controlada excede muito o setpoint o controlador entra no seu modo desligado, tendo como sinal de saída o mínimo possível. Quando a variável controlada está muito abaixo do setpoint, o contrário acontece e o controlador emite sinal máximo para o elemento final de controle. Sendo assim, a variável manipulada está sempre nos arredores do setpoint mas nunca se estabiliza no mesmo.
O controlador proporcional responde de maneira proporcional ao erro do sistema. Essa proporcionalidade é ditada pelo ganho do controlador . O controlador proporcional sempre deixa erro residual para o caso de uma entrada degrau.
Então esses dois controladores são os mais simples e baratos, e por isso são os mais comumente usados na indústria. Entretanto, para alguns casos onde o controle precisa ser feito com mais rigor, eles não serão suficientes, principalmente pelo fato de não fazerem com que a variável controlada se estabilize no setpoint.
Foi para ajudar nessas situações que surgiu nosso grande amigo controlador proporcional-integrativo (mas pode chamar de PI). Vamos então entender um pouco melhor como ele funciona, quais são seus parâmetros e por que ele é tão pica das galáxias.
Controlador proporcional-integrativo (PI)
Todos os controladores recebem uma informação sobre o erro do sistema, , e respondem com um sinal de saída, , baseado nesse erro.
Para o controlador proporcional-integrativo, a função no domínio tempo para o sinal de saída do controlador é definida como:
Ou ainda, no domínio da frequência (aplicando transformada de Laplace):
Logo de cara, podemos perceber que o controlador proporcional integral possui dois termos, e um a mais que o controlador proporcional. Isso por si só já o torna mais robusto e sofisticado.
continua sendo o ganho do controlador, ele funciona da mesma maneira que o ganho do controlador proporcional. é a constante de tempo integral e ele vai ser o principal responsável pela ação integrativa do controlador.
Vamos analisar melhor como esses termos impactam na resposta do controlador olhando o gráfico abaixo:
Esse é o gráfico do sinal de saída do controlador, , após uma entrada do tipo degrau unitário.
Vamos analisar bem o que esse gráfico está querendo nos dizer. Primeiramente podemos perceber que como estamos trabalhando com um controlador do tipo PI nós podemos notar os efeitos da ação proporcional e da ação integrativa. A ação proporcional é responsável pelo degrau no momento em que a perturbação ocorreu. Esse degrau terá magnitude . Já a ação integrativa é responsável pela rampa que vem em sequência. Isso pode ser visto também analisando a equação do controlador:
Fazendo:
seria então o valor inicial quando o sistema não apresenta nenhum erro, é o degrau causado pela perturbação degrau e derivado da ação proporcional do controlador. E por fim é o coeficiente de inclinação da reta causada pela parte integrativa. Sendo que é o tempo que se passou para que ocorresse uma elevação de magnitude no sinal de saída do controlador.
Ou seja, quanto
O efeito da parte integrativa do controlador será mais fortemente sentido quanto maior for a inclinação da reta. O coeficiente de inclinação da reta aumenta com o aumento de e com a diminuição de .
Em alguns lugares, podemos ver a função de transferência para o controlador PI escrita da seguinte forma:
Dessa forma, é chamado de ganho integral, e comparando com a versão apresentada primeiramente, ele seria:
Por que o controlador PI anula o erro
A principal vantagem do controlador PI em relação aos controladores que não possuem a parcela integralizadora é que esse tipo de controlar não apresenta offset para entradas do tipo degrau.
Isso acontece devido ao fato de que a função de transferência apresenta um termo com polo na origem, fazendo com que ela seja do tipo 1:
Repare que quando rearranjamos a função de transferência do controlador PI, ela apresenta um polo na origem e um zero em .
Esse polo na origem faz com que a função de transferência seja do tipo 1. Caso você não se lembre bem dessa classificação, sugiro que dê uma revisada na aula de erros em regime permanente.
Ainda nessa aula, nós vimos que sistemas do tipo 1 apresentam erros nulos em regime permanente para entradas do tipo degrau.
Essa então é a grande vantagem do controlador PI. Ele transforma sistemas com processos do tipo 0 em sistemas do tipo 1. Caso o processo já seja do tipo 1, ele transformará o sistema em um sistema do tipo 2, e assim por diante.
Mas então pode vir a dúvida: “se o que faz com que o erro seja nula é o polo na origem, porque não ter um controlador só integral?”
Boa pergunta, jovem. O polo na origem apesar de fazer com que o erro em estado estacionário seja zero, ele também aumenta significativamente a instabilidade do sistema. Dessa forma, a parte proporcional gera um zero negativo no sistema que faz com que ele seja mais estável.
Quanto menor for maior será a predominância da parte integrativa e mais instável o sistema será. Já valores muito grandes de fazem com que a parte proporcional seja predominante e que o tempo para se atingir o valor do estado estacionário seja maior.