Métodos de Ziegler-Nichols
Produzido por Alexandre NunesTeoria
Introdução
No capítulo de controladores nós aprendemos um pouco sobre esses equipamentos que são o grande cérebro das malhas de controle. Os controladores são os caras que tomam as decisões de como a malha deve reagir quando a variável controlada não está ajustada na especificação adequada.
Nós vimos que existem alguns tipos de controladores, cada um com sua própria função de transferência e com um propósito diferente para ser usado.
Um dos controles mais simples é o proporcional (P), ele corrige a variável controlada proporcionalmente ao erro. O controlador proporcional-integrativo (PI) corrige a variável proporcionalmente ao erro e ainda acrescenta uma parcela de integral do erro. O proporcional-integrativo-derivativo (PID) faz tudo isso e ainda tem um efeito derivativo que prevê a resposta do sistema. O PID por exemplo, tem função de transferência:
Alguns livros preferem escrever da forma abaixo, mas dá na mesma:
Na fórmula dos controladores existem parâmetros: o ganho do controlador (), a constante de tempo integral () e a constante de tempo derivativo (). Esses parâmetros são fundamentais para o bom funcionamento do controlador e o sucesso do sistema de controle vai depender diretamente do quão bem ajustados eles estão.
Como o controlador é o centro de toda a malha de controle, nós precisamos dar uma atenção muito especial para os métodos de sintonização desses equipamentos. O ajuste fino dos parâmetros do controlador é o que vai definir não só as características da nossa resposta mas como também a estabilidade do sistema.
Os primeiros métodos de sintonia de controlador que veremos serão os métodos de Ziegler-Nichols. Os brabos propuseram dois métodos, um em malha aberta e um em malha fechada, para sintonizar controladores. Os métodos de Ziegler-Nichols também são chamados de métodos de decaimento de porque já que eles foram desenvolvidos de modo que cada pico da resposta fosse do pico anterior.
O método de Ziegler-Nichols de malha aberta
Esse método, que também é chamado de método da curva de reação, consiste em inserir uma entrada degrau unitário em um processo em malha aberta e observar a resposta desse sistema com o tempo.
Ziegler e Nichols perceberam que a maioria dos processos apresentam uma resposta parecida com a da imagem quando submetidos a uma entrada do tipo degrau unitário.
Sendo assim, eles elaboraram um método gráfico de forma que seja possível aproximar o sistema que tem uma resposta em “S” como a da figura acima a um sistema de primeira ordem mais tempo morto:
O método consiste em definir o ganho, , a constante de tempo, , e o tempo morto, , através do gráfico da resposta do sistema. Com esses três valores é possível calcular os parâmetros para o controlador.
Para fazer essa análise, é preciso traçar a linha tangente na curva no ponto onde a inclinação dessa linha é a maior possível (geralmente vai ser perto do meio).
Após traçar a tangente de maior inclinação o ponto em que ela cruza o valor inicial da resposta () determina o tempo morto o tempo morto. A distância entre esse ponto e o ponto em que ela cruza a linha do valor da resposta em estado estacionário é . O ganho é a variação total da resposta dividido pela amplitude do degrau.
Os parâmetros para o controlador podem então ser calculados utilizando-se as correlações da tabela abaixo:
Esse método é útil quando não temos a função de transferência do processo, mas sabemos como sua resposta se comporta para uma entrada degrau unitário.
O método de Ziegler-Nichols de malha fechada
Esse método, também conhecido como método do ganho final, utiliza-se da equação característica de malha fechada de um processo para determinar os parâmetros do controlador.
Dado um processo qualquer , controlado por um controlador , sua função de transferência em malha fechada será:
O denominador dessa função de transferência é chamado de equação característica. Com essa equação conseguimos determinar, por exemplo, qual o maior ganho que o sistema pode ter antes de ficar instável, que é o ganho final.
O método de Ziegler-Nichols de malha fechada consiste em determinar o ganho e o período final de um processo e com esses valores sintonizar os parâmetros do controlador.
Para encontrar o ganho e período final, você deve considerar que está trabalhando com um controlador proporcional (mesmo que esteja sintonizando um PI ou um PID). Dessa forma, você deve determinar e que são o ganho e a frequência que tornam o seu sistema instável.
O período final pode ser encontrado através da frequência final:
Existe uma série de métodos que você pode usar: substituição direta, critério de Routh, lugar das raízes. Fica a critério do cliente. Caso você não se lembre como aplicar esses métodos, pode ficar tranquilo que tem uma aula para cada um deles aqui no Responde Aí, só voltar lá e dar uma revisada.
Com os valores de e em mãos, é só jogar na tabelinha abaixo e ser feliz.
Uma dica pessoal minha é usar o método da substituição direta para encontrar os valores de e . Eu particularmente considero esse método mais fácil e direto. Entretanto, todos os métodos encontram respostas muito semelhantes e se você se sentir mais confortável usando o critério de Routh ou lugar das raízes tá tudo ótimo.