Teoria

Introdução

No capítulo de controladores nós aprendemos um pouco sobre esses equipamentos que são o grande cérebro das malhas de controle. Os controladores são os caras que tomam as decisões de como a malha deve reagir quando a variável controlada não está ajustada na especificação adequada.

Nós vimos que existem alguns tipos de controladores, cada um com sua própria função de transferência e com um propósito diferente para ser usado.

Um dos controles mais simples é o proporcional (P), ele corrige a variável controlada proporcionalmente ao erro. O controlador proporcional-integrativo (PI) corrige a variável proporcionalmente ao erro e ainda acrescenta uma parcela de integral do erro. O proporcional-integrativo-derivativo (PID) faz tudo isso e ainda tem um efeito derivativo que prevê a resposta do sistema. O PID por exemplo, tem função de transferência:

G C s = K c 1 + 1 τ i s + τ d s

Alguns livros preferem escrever da forma abaixo, mas dá na mesma:

G c s = K p + K i s + K d s

K p = K c

K i = k c τ i

K d = K c τ d

Na fórmula dos controladores existem parâmetros: o ganho do controlador ( K C ), a constante de tempo integral ( τ i ) e a constante de tempo derivativo ( τ d ). Esses parâmetros são fundamentais para o bom funcionamento do controlador e o sucesso do sistema de controle vai depender diretamente do quão bem ajustados eles estão.

Como o controlador é o centro de toda a malha de controle, nós precisamos dar uma atenção muito especial para os métodos de sintonização desses equipamentos. O ajuste fino dos parâmetros do controlador é o que vai definir não só as características da nossa resposta mas como também a estabilidade do sistema.

Os primeiros métodos de sintonia de controlador que veremos serão os métodos de Ziegler-Nichols. Os brabos propuseram dois métodos, um em malha aberta e um em malha fechada, para sintonizar controladores. Os métodos de Ziegler-Nichols também são chamados de métodos de decaimento de 1 / 4 porque já que eles foram desenvolvidos de modo que cada pico da resposta fosse 1 / 4 do pico anterior.

O método de Ziegler-Nichols de malha aberta

Esse método, que também é chamado de método da curva de reação, consiste em inserir uma entrada degrau unitário em um processo em malha aberta e observar a resposta desse sistema com o tempo.

Ziegler e Nichols perceberam que a maioria dos processos apresentam uma resposta parecida com a da imagem quando submetidos a uma entrada do tipo degrau unitário.

Sendo assim, eles elaboraram um método gráfico de forma que seja possível aproximar o sistema que tem uma resposta em “S” como a da figura acima a um sistema de primeira ordem mais tempo morto:

Y s X s = K τ s + 1 e - θ s  

O método consiste em definir o ganho, K , a constante de tempo, τ , e o tempo morto, θ , através do gráfico da resposta do sistema. Com esses três valores é possível calcular os parâmetros para o controlador.

Para fazer essa análise, é preciso traçar a linha tangente na curva no ponto onde a inclinação dessa linha é a maior possível (geralmente vai ser perto do meio).

Após traçar a tangente de maior inclinação o ponto em que ela cruza o valor inicial da resposta ( y ( 0 ) ) determina o tempo morto o tempo morto. A distância entre esse ponto e o ponto em que ela cruza a linha do valor da resposta em estado estacionário é τ . O ganho é a variação total da resposta dividido pela amplitude do degrau.

Os parâmetros para o controlador podem então ser calculados utilizando-se as correlações da tabela abaixo:

Esse método é útil quando não temos a função de transferência do processo, mas sabemos como sua resposta se comporta para uma entrada degrau unitário.

O método de Ziegler-Nichols de malha fechada

Esse método, também conhecido como método do ganho final, utiliza-se da equação característica de malha fechada de um processo para determinar os parâmetros do controlador.

Dado um processo qualquer G ( s ) , controlado por um controlador G C ( s ) , sua função de transferência em malha fechada será:

Y s X s = G C ( s ) G s 1 + G C ( s ) G s

O denominador dessa função de transferência é chamado de equação característica. Com essa equação conseguimos determinar, por exemplo, qual o maior ganho que o sistema pode ter antes de ficar instável, que é o ganho final.

O método de Ziegler-Nichols de malha fechada consiste em determinar o ganho e o período final de um processo e com esses valores sintonizar os parâmetros do controlador.

Para encontrar o ganho e período final, você deve considerar que está trabalhando com um controlador proporcional (mesmo que esteja sintonizando um PI ou um PID). Dessa forma, você deve determinar K c u e ω u que são o ganho e a frequência que tornam o seu sistema instável.

O período final pode ser encontrado através da frequência final:

T u = 2 π ω u

Existe uma série de métodos que você pode usar: substituição direta, critério de Routh, lugar das raízes. Fica a critério do cliente. Caso você não se lembre como aplicar esses métodos, pode ficar tranquilo que tem uma aula para cada um deles aqui no Responde Aí, só voltar lá e dar uma revisada.

Com os valores de K c u e T u em mãos, é só jogar na tabelinha abaixo e ser feliz.

Uma dica pessoal minha é usar o método da substituição direta para encontrar os valores de K c u e T u . Eu particularmente considero esse método mais fácil e direto. Entretanto, todos os métodos encontram respostas muito semelhantes e se você se sentir mais confortável usando o critério de Routh ou lugar das raízes tá tudo ótimo.

O método de Ziegler-Nichols de malha aberta

O método de Ziegler-Nichols de malha fechada