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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 36

36. Determine a mudança na energia interna do ar em k J / k g , considerando que ele é submetido a uma mudança de estado de 100   k P a e 20   ° C para 600   k P a e 300   ° C . Utilize a equação de estado P ( v - a )   =   R T , onde a   =   1   m 3 / k g , e compare o resultado com o valor obtido por meio da equação de estado do gás ideal.

Passo 1

Olha só! Inicialmente, para se resolver esse problema, é de suma importância saber que podem ser utilizados aquecimentos específicos constantes para o ar.

Em seguida, bora tirar a média das temperaturas antes e depois da mudança de estado do gás.

T = 20   ° C + 300   ° C 2

T = 160   ° C

Passando essa temperatura pra K e l v i n ...

T = 160 + 273   K

T = 433   K

Aí você deve estar se perguntando provavelmente o porquê de termos feito isso. Bom! Nos precisamos consultar a tabela da nossa bibliografia, pra obter no caso, já que a mudança de estado supostamente ocorre em volume constante, o valor de c v .

E é isso mesmo que vamos fazer. Na temperatura de 433   K , temos que...

c v = 0,731   k J / k g ⋅ K

Passo 2

Pronto! A parte introdutória meio chatinha, já ficou pra trás.

Agora, vamos nos concentrar na equação abaixo...

P = R T v - a

Essa equação pode também ter a seguinte cara...

P T = R v - a

δ P δ T v = R v - a

Tendo feito isso, vamos recorrer em seguida à equação 12.29 , que tem a seguinte cara...

d u = c v d T + T ⋅ δ P δ T - P d v

Bom! Anteriormente, nós descobrimos que...

δ P δ T = R v - a

Sendo assim, ficamos com...

d u = c v d T + T ⋅ R v - a - P d v

Mas o valor de P é...

P = R T v - a

O que nos leva à...

d u = c v d T + T ⋅ R v - a - R T v - a d v

d u = c v d T + R T v - a - R T v - a d v

d u = c v d T

Passo 3

Depois de tudo isso, bora se concentrar agora na expressão abaixo.

d u = c v d T

Integrando em ambos os lados de um instante ( 1 ) até um instante ( 2 ) qualquer...

∫ 1 2 d u = ∫ 1 2 c v d T

u 2 - u 1 = c v ( T 2 - T 1 )

Dessa expressão, sabemos que...

c v = 0,731   k J / k g ⋅ K T 2 = 300   ° C = 300 + 273   K = 573   K T 1 = 20   ° C = 20 + 273   K = 293   K

Então, nossa resposta vai ser, substituindo os valores numéricos conhecidos, igual à:

u 2 - u 1 = c v ( T 2 - T 1 )

∆ u = c v ( T 2 - T 1 )

∆ u = ( 0,731   k J / k g ⋅ K ) ⋅ ( 573   K - 293   K )

∆ u = 205   J / K

Essa é exatamente a mesma resposta fornecida para o modelo de gás ideal, que utiliza a mesma relação que nós usamos...

d u = c v d T

Missão cumprida!

Resposta

∆ u = 205   J / K

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