Enunciado

74- Um balão é construído com um material que apresenta tensão superficial igual a 2   N / m . Determine o trabalho necessário para encher o balão sabendo que o diâmetro do balão no estado final é igual a 0.5   m . Despreze os efeitos da pressão atmosférica sobre o processo.

Passo 1

Vixi, viu as palavras tensão superficial e tá mais perdido pinguim em águas brasileiras? Relaxa, nós aqui do Responde Aí estamos aqui para te ajudar :D

A única coisa que você precisa entender aqui é que quando falamos de trabalho nós estamos falando de um objeto elementar (de tamanho muito pequeno) sendo empurrado com uma força qualquer F por uma distância d . O que nos dá uma fórmula conhecida que é:

W = F d   [ N m ]

O que eu queria que você se atentasse aqui não é a fórmula em si mas sim a sua dimensão que sempre será N m (para medidas no SI) e é isso que eu queria o que você percebesse, pois agora estaremos falando de elementos que não estarão sobre influência de uma única força pontual e nem estarão deslocando corpos ditos infinitesimais (o tal do tamanho muito pequeno)

Vamos pegar o famoso embolo com um gás dentro que tem a seguinte física envolvida:

Dessa forma conseguimos dizer que o trabalho causado pela força F seja de:

W = F d

Meio sem graça, mas sabendo que a força F exerce uma pressão no disco de área A então podemos dizer que:

p = F A → F = p A

E também que d representa a altura de um cilindro com área transversal o círculo de área A , ou seja:

V = A d → d = V A

Substituindo na fórmula do trabalho temos:

W = p A V A = p V

E como é o trabalho causado pela força F e o disco se movimenta na direção da força então o trabalho é positivo. Se estivéssemos interessados no trabalho exercido pelo gás ele teria o mesmo valor só que com sinal inverso ou seja

W g = - p V

Uma vez que o corpo se expande na direção contrária da direção da força resultante do gás, capisce ?

Mas... não estamos falando de um balão enchendo? Que tem uma tal de uma tensão superficial aí no meio. Sim, mas para explicar o que trabalho nesse tipo de corpo que é um pouquinho mais complexo eu preciso que você entenda o trabalho envolvido em um embolo que é mais simples.

Passo 2

Agora vamos pro trabalho de um enchimento de um balão, ela terá o seguinte comportamento:

Como estamos interessados no trabalho exercido pelo gás e o balão se enche na mesma direção radial da força então o trabalho é positivo.

Olhe bem a questão, ele quer saber o trabalho para encher o balão, então podemos considerar duas coisas. Que o balão inicialmente está vazio e que o balão estará prestes a explodir (parece meio forçado mas vamos considerar isso), ou seja a pressão das forças da superfície do balão (vetores em preto) geram a pressão superficial do material do balão que é de S = 2   N / m

Sabendo que a área superficial de uma esfera é 4 π r 2 [ m 2 ] = 4 π d 2 2 = π d 2 então temos a seguinte fórmula para o trabalho desse corpo:

W = S N m A m 2

W = S A   N m = S A   [ J ]

Onde S se assimila a pressão do embolo e A ao volume do cilindro formado no embolo.

Ou seja a unida ela se mantém, portanto a resposta final será de:

W = 2   N m ⋅ π 0.5 2 m 2 = 1.57   N m = 1.57   J

Resposta

W = 1.57   J

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